Massenträgheitsmoment < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Massenträgheitsmoment einer Kugel vom Radius R bezüglich eines Durchmessers, wenn
(a) die Dichte konstant ist.
(b) die Dichte proportional zum Abstand vom Zentrum der Kugel ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
- Also das MTM einer Kugel ist [mm] J=\bruch{2}{5}mr^2
[/mm]
- und die Dichte ergibt sich aus dem Quotient von Masse und Volumen
Bei konstanter Dichte ist das MTM doch [mm] J=Dichte\integral_{V}^{}{r^2 dV}
[/mm]
So nun weiss ich aber nicht wie ich auf das Integral komme.
Nächster Schritt ist die Festlegung von Kugelkoordinaten und partiell Integrieren und am Ende erhalte ich doch dann
[mm] J=\bruch{2}{5}mr^2
[/mm]
wie komme ich nun da drauf?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Mo 26.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Dipling
In Kugelkoordinaten: [mm] \phi [/mm] in rotationsrichtung, d.h. um die Achse, [mm] \teta [/mm] vom Pol aus. Dann gilt Längenelemente in [mm] \phi [/mm] Richtung: [mm] r*sin\teta*d\phi, [/mm] in [mm] \teta [/mm] Richtung [mm] r*\d\teta [/mm] , in r -Richtung dr. Damit ist das Volumenelement:
[mm] dV=r^{2}sin\teta drd\phid\teta.
[/mm]
Das setzt du in dein Integral ein und integrierst [mm] \phi [/mm] von 0 bis [mm] 2\pi, \teta [/mm] von 0 bis [mm] \pi [/mm] und r von 0 bis R. Das ist alles. Dann kannst du am Ende noch die Gesamtmasse mit Kugelvolumen mal Dichte reinbringen.
entsprechendes bei veränderlicher Dichte, da bleibt natürlich die Dichte mit unter dem Integral, dass sie in deiner Formel davor steht, liegt nur daran dass sie Konstant ist.
inb) ansetzen [mm] \rho=k*r, [/mm] wenn du dann die Gesamtmasse reinbringen willst, musst du die noch aus [mm] \integral{\rho (r) dV } [/mm] ausrechnen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Mo 26.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Dipling
In Kugelkoordinaten: [mm] \phi [/mm] in rotationsrichtung, d.h. um die Achse, [mm] \teta [/mm] vom Pol aus. Dann gilt Längenelemente in [mm] \phi [/mm] Richtung: [mm] r*sin\teta*d\phi, [/mm] in [mm] \teta [/mm] Richtung [mm] r*\d\teta [/mm] , in r -Richtung dr. Damit ist das Volumenelement:
[mm] dV=r^{2}sin\teta drd\phid\teta.
[/mm]
Das setzt du in dein Integral ein und integrierst [mm] \phi [/mm] von 0 bis [mm] 2\pi, \teta [/mm] von 0 bis [mm] \pi [/mm] und r von 0 bis R. Das ist alles. Dann kannst du am Ende noch die Gesamtmasse mit Kugelvolumen mal Dichte reinbringen.
Das Trägheitsmoment ist durch das Integral definiert, weil man so vom Trägheitsmoment eines Massepunktes [mm] J=mr^{2} [/mm] auf das vieler Massepunkte bzw einer kontinuierlichen Masseverteilung kommt. Eigentlich gehört die Frage in Physik!
entsprechendes bei veränderlicher Dichte, da bleibt natürlich die Dichte mit unter dem Integral, dass sie in deiner Formel davor steht, liegt nur daran dass sie Konstant ist.
inb) ansetzen [mm] \rho=k*r, [/mm] wenn du dann die Gesamtmasse reinbringen willst, musst du die noch aus [mm] \integral{\rho (r) dV } [/mm] ausrechnen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo Leduart. Danke für deine Mühe. Das Anfangsintegral aufzustellen ist kein Problem. Die kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten umzuwandeln auch nicht. Erkläre mir deshalb bitte, wie du auf das Volumenelement kommst.
Bei mir sieht das nämlich so aus:
[mm] x=r*\cos\phi\cos\gamma
[/mm]
[mm] y=r*\cos\phi\sin\gamma
[/mm]
[mm] z=r*sin\gamma
[/mm]
oder aber auch
[mm] x=r*\sin\phi\cos\gamma
[/mm]
[mm] y=r*\sin\phi\sin\gamma
[/mm]
[mm] z=r*cos\gamma
[/mm]
und somit ergibt sich das Volumenelement mit
dV=dx*dy*dz
[mm] =r^2\sin\phi*dr*d\phi*d\gamma
[/mm]
Das Integral sieht doch dann so aus...
I= [mm] \integral_{0}^{R}{dr} \integral_{0}^{\pi}{d\phi} \integral_{0}^{2\pi}{d\gamma}
[/mm]
soweit verstehe ich das ja noch. Integrale aufgestellt und Grenzen entsprechend der Kugelkoordinaten bestimmt. Jetzt häng ich aber und zwar gehört hinter das letzte Integral noch ein Produkt aus [mm] r^4\sin^3\phi [/mm] aber warum. Kann mir das jemand erklären?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Do 06.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
