Massenpunkt auf Ellipse < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Mi 11.03.2009 | | Autor: | InoX |
| Aufgabe | | Ein Massenpunkt bewege sich auf einer Ellipse mit den Halbachsen a und b. Man berechne x- und y-Komponente der Geschwindigkeit des Massenpunktes, wobei die [mm]\phi[/mm]-Komponente der Beschleunigung(Polarkoordinaten: [mm] r(t)=\rho(\phi)(\cos\phi,\sin\phi) [/mm] mit [mm]\phi=\phi(t) [/mm]) verschwinden soll (der Ursprung des Systems ist der mittelpunkt der Ellipse) |
Was genau heißt die [mm]\phi[/mm]-Komponente der Beschleunigung verschwindet?
Eigentlich parametrisiert man ja eine Ellipse durch [mm] r(t)=(a\cos\phi,b\sin\phi) [/mm], wie genau lässt sich die Parametrisierung in Polarkoordinaten erklären ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Mi 11.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es ist einfach die parametrisierung vom Mittelpunkt aus, der Abstand vom Mittelpunkt ist vom Winkel phi des Vektors r zur x- Achse abhaengig. genau [mm] r(\phi_=b/\wurzel{1-\epsilon^2*cos^2(\phi)}
[/mm]
Die Beschleunigung soll nur auf den Mittelpunkt zuweisen, dann hat sie keine [mm] \phi [/mm] Komponente
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Fr 13.03.2009 | | Autor: | InoX |
Hallo und erstmal danke für deine Antwort.
Ich habe jetzt versucht diese Aufgabe zu lösen und bin da bis jetzt noch nicht auf einen grünen Zweig gekommen.
Meine Vorgehensweise bisher:
1) Habe die Einheitsvektoren [mm] e_\phi [/mm] und [mm] e_\rho [/mm] berechnet
2) Habe deren Ableitung nach der Zeit berechnet und durch [mm] e_\phi [/mm] und [mm] e_\rho [/mm] ausgedrückt.
3) Es ergibt sich:
[mm] \frac{dr}{dt}= \frac{d\phi}{dt}*\left[\left(\frac{d\rho}{d\phi} \cos\phi - \rho\sin\phi\right)e_x +\left(\frac{d\rho}{d\phi} \sin\phi - \rho\cos\phi\right)e_y\right] [/mm]
4) Wenn man nun noch die Beschleunigung so ausrechnet bekomm ich für die Bedingung, dass die [mm]\phi[/mm]-Komponente der Beschleunigung verschwindet die folgende Differentialgleichung
[mm] \frac{d^2\phi}{dt^2}=-2*\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^3\frac{\frac{d\rho}{d\phi}}{\rho}[/mm]
Also wie genau komm ich nun an [mm] \phi(t) [/mm] ?
Gruß,
Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 So 15.03.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo und erstmal danke für deine Antwort.
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> Ich habe jetzt versucht diese Aufgabe zu lösen und bin da
> bis jetzt noch nicht auf einen grünen Zweig gekommen.
>
> Meine Vorgehensweise bisher:
>
> 1) Habe die Einheitsvektoren [mm]e_\phi[/mm] und [mm]e_\rho[/mm] berechnet
>
> 2) Habe deren Ableitung nach der Zeit berechnet und durch
> [mm]e_\phi[/mm] und [mm]e_\rho[/mm] ausgedrückt.
>
> 3) Es ergibt sich:
> [mm]\frac{dr}{dt}= \frac{d\phi}{dt}*\left[\left(\frac{d\rho}{d\phi} \cos\phi - \rho\sin\phi\right)e_x +\left(\frac{d\rho}{d\phi} \sin\phi - \rho\cos\phi\right)e_y\right][/mm]
Abgesehen davon, dass das Minuszeichen vor [mm] $\rho\cos\phi$ [/mm] falsch ist, stehen da die kartesischen Einheitsvektoren.
> 4) Wenn man nun noch die Beschleunigung so ausrechnet
> bekomm ich für die Bedingung, dass die [mm]\phi[/mm]-Komponente der
> Beschleunigung verschwindet die folgende
> Differentialgleichung
>
> [mm]\frac{d^2\phi}{dt^2}=-2*\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^3\frac{\frac{d\rho}{d\phi}}{\rho}[/mm]
Wie kommst du auf diese DGL?
Zur Vorgehensweise: die kartesischen Einheitsvektoren brauchst du überhaupt nicht. Es ist doch:
[mm] $\bruch{d}{d\phi}\vec{e}_r [/mm] = [mm] \vec{e}_\phi$ [/mm] und [mm] $\bruch{d}{d\phi}\vec{e}_\phi [/mm] = [mm] -\vec{e}_r$,
[/mm]
woraus sich
[mm] $\bruch{d}{dt}\vec{e}_r [/mm] = [mm] \dot{\phi}\vec{e}_\phi$ [/mm] und [mm] $\bruch{d}{dt}\vec{e}_\phi [/mm] = [mm] -\dot{\phi}\vec{e}_r$
[/mm]
ergibt.
Damit und mit [mm] $\bruch{d}{dt}\rho(\phi(t)) [/mm] = [mm] \dot{\phi}\rho'(\phi)$ [/mm] leitest du $r(t) = [mm] \rho(\phi)\vec{e}_r$ [/mm] ab:
[mm]\ddot{r} = \ddot{\rho} \vec{e}_r + 2 \dot{\rho} * \Dot{\Vec{e}}_r + \rho * \Ddot {\Vec{e}}_r[/mm]
[mm] = (\rho''\dot{\phi}^2 + \rho'\ddot{\phi})\vec{e}_r + 2 \rho'\dot{\phi}^2 \vec{e}_\phi + \rho\ddot{\phi}\vec{e}_\phi-\rho\dot{\phi}^2\vec{e}_r [/mm]
Die [mm] $\phi$-Komponente [/mm] der Beschleunigung ist also $ 2 [mm] \rho'\dot{\phi}^2+\rho\ddot{\phi} [/mm] = 2 [mm] \bruch{d\rho(\phi(t))}{dt} \dot{\phi}+\rho\ddot{\phi}$.
[/mm]
Die DGL $2 [mm] \bruch{d\rho(\phi(t))}{dt} \dot{\phi}+\rho\ddot{\phi}=0$ [/mm] kannst du durch multiplikation mit [mm] $\rho$ [/mm] in eine vollständige Zeitableitung umwandeln.
Viele Grüße
Rainer
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