Maßeinheiten bei Körpern < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Fr 30.04.2010 | | Autor: | begker |
| Aufgabe | Eine in einem Zylinder liegende Wendeltreppe windet sich dreimal. Der Durchmesser des Kreiszylinders beträgt 2.5m und er ist 9m hoch.
Wie lang ist die Wendeltreppe? |
Ich dachte erst daran einfach den Umfang des Zylinders (u=d*∏= 7,85m) zu verdreifachen, aber die Treppe windet sich ja nicht horizontal um den Kreiszylinder. Sie muss also länger sein als 3*7.85m.
Meine zweite Idee war, dass, wenn die Treppe sich nicht genau horizontal um den Zylinder windet, dann beschreibt sie ja auch nicht drei Kreise, sondern drei Ellipsen von schräg unten nach schräg oben. Wie aber errechne ich denn den Umfang dieser drei Ellipsen? Oder bin ich auf dem Holzweg?
Beste Grüße und vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Fr 30.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du nimmst eine Schraubenlinie, parametrisierst sie
x=rcost
y=rsint
z=a*t
also in Zylinderkoordinaten und rechnest (mit Integral) die Bogenlänge aus.
Und nebenbei: was hat das mit Maßeinheiten zu tun? ob du die Läng in m,cm oder inch ausrechnest ist doch egal??
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Sa 01.05.2010 | | Autor: | begker |
Hallo leduart,
erstmal vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Allerdings muss es auch eine einfachere Lösung geben. Ich sollte diese Aufgabe einer Schülerin der 9.Klasse erklären - und die kennt sowas wie die Integralrechnung noch nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Sa 01.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> erstmal vielen Dank für deine schnelle Antwort.
> Allerdings muss es auch eine einfachere Lösung geben. Ich
> sollte diese Aufgabe einer Schülerin der 9.Klasse
> erklären - und die kennt sowas wie die Integralrechnung
> noch nicht.
Da hast du natürlich recht.
Du kannst doch den Zylinder einfach abrollen: dann ist der Zylindermantel ein Rechteck und die Schraubenlinie besteht aus drei parallelen Geraden. Bzw. wenn du nur ein Drittel des Zylinders nimmst (Radius r und Höhe $h/3$), ist die Schraubenlinie die Diagonale und hat die Länge [mm] $\sqrt{(2\pi r)^2+\bruch{h}{3}^2}$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
P.S. Ein halber Gang der Schraubenlinie auf dem Zylindermantel ist keine Ellipse. Wenn das der Fall wäre, hättest du einen Weg gefunden, ein elliptisches Integral einfach auszurechnen. Der Umfang einer Ellipse lässt sich nämlich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken.
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