Masse und Schwerpunkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Do 09.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Sei K [mm] \subset \IR^{3} [/mm] ein Kegel mit einem Kreis in der xy-Ebene um den Nullpunkt und mit Radius R als Grundfläche. Die Spitze des Kegels befinde sich im Punkt(0,0,h). Der Kegel sei mit einer Masse gefüllt, deren Dichte
[mm] \rho: \IR^{3} \to \IR [/mm] durch [mm] \rho(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} [/mm] gegeben ist.
Bestimmen Sie
a) die durch [mm] M:=\integral_{K}^{}{\rho(x_{1},x_{2},x_{3}) d(x_{1},x_{2},x_{3})} [/mm] gegebene Masse des Kegels ,
b) den Schwerpunkt [mm] S=(S_{1}, S_{2}, S_{3}) [/mm] des Kegels , dessen Koordinaten durch [mm] S_{j}:=\bruch{1}{M}\integral_{K}^{}{x_{j}\rho(x_{1},x_{2},x_{3}) d(x_{1},x_{2},x_{3})}
[/mm]
für j=1,2,3 gegeben sind. |
Hallo,
a) ich habe so gerechnet:
M= [mm] \integral_{K}^{}{x_{3}d(x_{1},x_{2},x_{3})}
[/mm]
K={ [mm] (x_{1},x_{2},x_{3}) \in \IR^{3}: (x_{1},x_{2}) \in [/mm] A:= [mm] {(x_{1},x_{2}) \in \IR^{2} :
x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \le R^{2}}, [/mm] 0 [mm] \le x_{3} \le [/mm] h }
Also, [mm] M=\integral_{A}^{}{ (\integral_{0}^{h}{x_{3}dx_{3}})
d(x_{1},x_{2})} [/mm] = [mm] \bruch{h^{3}}{2}\integral_{A}^{}{1 d(x_{1},x_{2})}=...= h^{3} \integral_{-R}^{R}{\wurzel{R^{2}-x^{2}} dx_{1}}=...= h^{3} \bruch{\pi *r^{2}}{4}.
[/mm]
Stimmt das ?
MfG
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Do 09.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich sehe keinen Kegel in deinem Volumenintegral? koenntest du die einzelnen formeln erklaeren? r haent doch z. Bsp von x3 ab?
woher kommt dass [mm] \wurzel{R^2-x^2}dx1 [/mm] wo blieb das dx2?
wie kommst du von dem Integral zu deinem ergebnis?
So was schreit nach zylinderkoordinaten
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Do 09.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo leduart,
was ich zu deinen Bemerkungen sagen kann:
> Hallo
> Ich sehe keinen Kegel in deinem Volumenintegral? koenntest
Ich weiß nicht, was Du mit: Du siehst keine Kegel im Volumenintegral
meinst
> du die einzelnen formeln erklaeren? r haent doch z. Bsp von
> x3 ab?
> woher kommt dass [mm]\wurzel{R^2-x^2}dx1[/mm] wo blieb das dx2?
die Pünktcken zwischen den Gleichheitszeichen "verschlucken"
das Integral , wo es auch x2 vorkommt. Am Ende kommt jedoch nur das Integral mit dx1.
> wie kommst du von dem Integral zu deinem ergebnis?
ich habe halt das Integral ausgerechnet ( die Stammfunktion von
[mm] \wurzel{R^{2}-x^{2} } [/mm] habe ich in der Formelsammlung nachgeschaut)
P.S:Ich habe mir im Heuser Analysis Teil 2 Seite 471 einen Ansatz angeschaut, ich weiß nicht , ob der hier passt.
> So was schreit nach zylinderkoordinaten
> Gruss leduart
Gruss
Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Do 09.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Stimmen M und K?
Wenn die stimmen, dann habe ich einfach nur das Integral M ausgerechnet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Do 09.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Stimmen nicht.
Gruss leduart
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Hallo Igor,
man kann bei dieser Aufgabe mit einfachen
Integralen (keine Dreifachintegrale und auch
keine Koordinatentransformation) auskommen,
wenn man als Volumenelemente Scheiben
der Dicke dz benützt.
Für die z-Koordinate [mm] z_S [/mm] des Schwerpunkts
[mm] S(0/0/z_S) [/mm] hat man dann z.B.:
$\ [mm] z_S=\bruch{1}{Gesamtmasse}*\integral_{z=0}^{h}z*\pi*(r(z))^2*\rho(z)\,dz$ [/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Do 09.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Al-Chwarizmi,
ich schaue mir deinen Ansatz an.
Kann man die Aufgabe auch mit meinem Ansatz machen?
Kommt ihr auch auf dasselbe Endergebnis ?
Gruss
Igor
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> ich schaue mir deinen Ansatz an.
>
> Kann man die Aufgabe auch mit meinem Ansatz machen?
Leider durchschaue ich deinen Ansatz nicht so recht ...
> Kommt ihr auch auf dasselbe Endergebnis ?
>
> Gruss
> Igor
Ich habe jetzt die Rechnungen gemacht und
bin auf folgende Ergebnisse gekommen:
$\ M\ =\ [mm] \bruch{\pi}{12}\,R^2\,h^2$
[/mm]
(damit dies dimensionsmäßig stimmt,
müsste man natürlich noch mit [mm] \bruch{Masseneinheit}{Laengeneinheit\,^4}
[/mm]
multiplizieren !)
$\ [mm] z_S\ [/mm] =\ [mm] \bruch{2}{5}\,h$
[/mm]
Gruß Al-Chw.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:58 Do 09.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
ich habe im Internet das Buch gefunden !!
Kannst Du bitte den Ansatz auf der ![[]](/images/popup.gif) Seite471anschauen?
Das Link führt zur Seite 2 , man kann aber die Seite 471 ohne grosse
Schwierigkeit finden.
Danke !
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> ich habe im Internet das Buch gefunden !!
> Kannst Du bitte den Ansatz auf der
> Seite471anschauen?
>
> Das Link führt zur Seite 2 , man kann aber die Seite 471
> ohne grosse
> Schwierigkeit finden.
>
> Danke !
Hallo Igor,
wenn ich den Link ausführen will,
bricht mein Browser zusammen ...
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 Do 09.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Al-Chwarizmi,
bei mir funktioniert der Link ohne Probleme...hmm...
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Do 09.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du integriierst zuerst ueber z (bzw x3) von o bis h. Dabei beruecksichtigst du nicht, dass ja die Bereiche fuer x1,x2 von z abhaengen. dann koennen deine Grenzen nicht so aussehen (einfach 0 bis h, sondern haengen von x1,x2 ab, oder du integrierst erst ueber x1,x2, (was unnoetig ist, da du ja die Kreisflaeche kennst d.h. wie al Ch.) und dann ueber x3.
so wie du integrierst ist da wirklich kein Kegel.
das merkst du z. Bsp, wenn du so das Volumen des Kegels ausrechnest, also statt x3 1 schreibst.
was du rechnest ist ein Zylinder.
Es hat auch nichts mit dem Vorgehen in dem Buch zu tun, da sind ja die Grenzen [mm] \phi1(x1,x2) [/mm] und [mm] \phi2(x1,x2)
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Do 09.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo leduart,
ich nehme an, bei Dir hat der Link funktioniert ?
Der Ansatz wäre ok gewesen, wenn man die Grenzen ändert?
Ich weiß noch momentan nicht, was ich genau dort ändern muss, jedoch ich habe verstanden, dass ich nicht 0 [mm] \le [/mm] x3 [mm] \le [/mm] h schreiben kann, sondern anstatt 0 und h sollen stetige Funktionen sein, die von x1 und x2 abhängen.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Do 09.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich weiss immer noch nicht wie du auf die Wurzel gekommen bist. und ja, du brauchst die abhaengigkeit der Radius r von x3
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Do 09.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
ich habe versucht die Kreisscheibe in der xy-Ebene als Normalbereich zu beschreiben(bin nicht sicher, ob das richtiger Weg ist). Durch Umformungen wie z.B: [mm] x^{2}+y^{2} \le R^{2} \gdw [/mm]
y [mm] \le \wurzel {R^{2}-x^{2}} [/mm] entstand dann die Wurzel.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Do 09.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das war hier falsch weil siehe oben r(z) da stehen muesste.
Grundsaetzlich solltest du bei Problemen die kreise enthalten entweder mit Zylinderkoordinaten rechnen, oder ein eindimensionales integral aus Kreisscheiben, wie al ch geschrieben hat bilden.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Do 09.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
warum hängt R von z ab? ich kann doch einen Radius R zu jedem Punkt auf der z-Achse wählen, so dass immernoch ein Kegel entsteht. Oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Do 09.07.2009 | | Autor: | leduart |
hallo
Radius in der x-y Ebene ist R auf halber Hoehe? bei x3=h?
Weisst du was ein Kegel ist? das Ding hat ne Spitze und wird von unten nach oben immer duenner. R war der feste Radius unten, mein r der von der Hoehe abh. Radius innerhalb dessen x,y sein muss.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Do 09.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
bei meinen Betrachtungen/Lösungsvorschlag kam kein r vor, sondern R.
Warum soll hier noch ein r sein?
Ist grundsätzlich die Aufgabe mit dem Ansatz im Buch zu lösen oder geht das überhaupt nicht, weil vielleicht r von z abhängt oder so, und das würde den Ansatz völlig unmöglich machen oder kann man da noch was machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Do 09.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwie ist das wohl mach bar, da du nur zu jedem x,y die darueberliegende Hohe h =x3 angben musst. Aber da es hier die ungeschickteste methode ist musst du die schon selber machen, ich knie mich da nicht rein.
ausserdem heisst die methode ja nicht, das immer z das ist, was man zuerst intgriert, x,y,z sind natuerlich austauschbar.
ist das aus deiner Vorlesung, oder warum willst du grade jetzt das moeglichst umstaendlichste machen?
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:59 Do 09.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Das Problem ist , ich weiß nicht wirklich, was Uni als Methode erwartet.
Man könnte sagen: da ich nicht genau weiß, dann mach halt irgendwas.
Dann würde ich den einfachsten Ansatz nehmen.
Irgendwie aber kommen auf demselben Übungsblatt zweifache-Integrale
, Normalbereiche und sowas ähnliches .
D.h ich möchte nicht den umständlichsten Weg nehmen, sondern ich möchte wissen, welche Methode hier erwartet wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:39 Do 09.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
ich habe gerade was im Buch über Zylinderkoordinaten gefunden. Das Integral , das man da benutzt ist ähnlich wie bei der Aufgabe. Ich schaue mir das an.
Danke für den Vorschlag !
Was Al-Chwarizmi vorgeschlagen hat, ist meiner Ansich nach, etwas anderes als wir gerade in der Vorlesung machen. Bei uns geht es um zweifache Integrale und sowas wie Normalbereiche , Satz von Fubini , Vertauschung der Reihenfolge der Integranden . Der Ansatz im Buch
war in demselben Kapitel wie Normalbereiche. Deshalb habe ich den Ansatz genommen.
Es kann sein , dass der Ansatz , den Al-Chwarizmi vorgeschlagen hat, am
besten/ am einfachsten. Ich bin mir aber nicht sicher , ob das auch
als Lösungsansatz in der Uni erwartet wird.
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> ich habe gerade was im Buch über Zylinderkoordinaten
> gefunden. Das Integral , das man da benutzt ist ähnlich
> wie bei der Aufgabe. Ich schaue mir das an.
> Danke für den Vorschlag !
>
> Was Al-Chwarizmi vorgeschlagen hat, ist meiner Ansich nach,
> etwas anderes als wir gerade in der Vorlesung machen. Bei
> uns geht es um zweifache Integrale und sowas wie
> Normalbereiche , Satz von Fubini , Vertauschung der
> Reihenfolge der Integranden . Der Ansatz im Buch
> war in demselben Kapitel wie Normalbereiche. Deshalb habe
> ich den Ansatz genommen.
> Es kann sein , dass der Ansatz , den Al-Chwarizmi
> vorgeschlagen hat, am
> besten/ am einfachsten. Ich bin mir aber nicht sicher , ob
> das auch
> als Lösungsansatz in der Uni erwartet wird.
Hallo,
da bin ich nochmal. Du kannst natürlich auch
mit zweifach- oder dreifach- Integralen operieren.
Nehmen wir einmal das Dreifachintegral in
Zylinderkoordinaten für die Masse.
Als innerste Integration nehmen wir z.B. die
über den Radius, dann die über die z-Koordinate
und dann die äusserste über den Polarwinkel [mm] \varphi [/mm] .
Für einen vorgegebenen z-Wert läuft die Inte-
gration über r von 0 bis [mm] r=r(z)=R*\bruch{h-z}{h}=R*(1-\bruch{z}{h})
[/mm]
und die über [mm] \varphi [/mm] von 0 bis [mm] 2*\pi. [/mm]
Dann haben wir für die Massenberechnung
das Integral
$\ [mm] M=\integral_{\varphi=0}^{2\,\pi}\integral_{z=0}^{h}\integral_{r=0}^{R*(1-\bruch{z}{h})}\underbrace{z}_{Dichte}*\,\underbrace{r*dr\ dz\,d\varphi}_{=\,dx\,dy\,dz}$
[/mm]
LG und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Fr 10.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Al-Chwarizmi,
Vielen Dank !
LG
Igor
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Fr 10.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
wird der Schwerpunkt des Kegels ähnlich wie die Masse des Kegels in der Aufgabe bestimmt?
Ich meine: wird hier das Integral , das Al-Chwarizmi in seinem letzten Beitrag gepostet hat, verwendet?
Gruss
Igor
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> Hallo,
>
> wird der Schwerpunkt des Kegels ähnlich wie die Masse des
> Kegels in der Aufgabe bestimmt?
> Ich meine: wird hier das Integral , das Al-Chwarizmi in
> seinem letzten Beitrag gepostet hat, verwendet?
>
> Gruss
> Igor
$ \ [mm] M=\integral_{\varphi=0}^{2\,\pi}\integral_{z=0}^{h}\integral_{r=0}^{R\cdot{}(1-\bruch{z}{h})}\underbrace{z}_{Dichte}\cdot{}\,\underbrace{r\cdot{}dr\ dz\,d\varphi}_{=\,dx\,dy\,dz} [/mm] $
$ [mm] \red{z_S}*M\ [/mm] =\ [mm] \integral_{\varphi=0}^{2\,\pi}\integral_{z=0}^{h}\integral_{r=0}^{R\cdot{}(1-\bruch{z}{h})}\red{\underbrace{z}_{z-Koord.}}\cdot{}\underbrace{z}_{Dichte}\cdot{}\,\underbrace{r\cdot{}dr\ dz\,d\varphi}_{=\,dx\,dy\,dz} [/mm] $
Dass [mm] x_S=y_S=0 [/mm] sein muss, ist in dieser Aufgabe
aus Symmetriegründen einleuchtend, doch wenn
du willst, kannst du das auch nachrechnen:
$ [mm] \red{x_S}*M\ [/mm] =\ [mm] \integral_{\varphi=0}^{2\,\pi}\integral_{z=0}^{h}\integral_{r=0}^{R\cdot{}(1-\bruch{z}{h})}\red{\underbrace{x}_{x-Koord.}}\cdot{}\underbrace{z}_{Dichte}\cdot{}\,\underbrace{r\cdot{}dr\ dz\,d\varphi}_{=\,dx\,dy\,dz} [/mm] $
$ [mm] \red{y_S}*M\ [/mm] =\ [mm] \integral_{\varphi=0}^{2\,\pi}\integral_{z=0}^{h}\integral_{r=0}^{R\cdot{}(1-\bruch{z}{h})}\red{\underbrace{y}_{y-Koord.}}\cdot{}\underbrace{z}_{Dichte}\cdot{}\,\underbrace{r\cdot{}dr\ dz\,d\varphi}_{=\,dx\,dy\,dz} [/mm] $
Gruß
Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 So 12.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Al-Chwarizmi,
wenn ich [mm] z_{S} [/mm] berechne, dann kommt bei mir
[mm] \bruch{ R^{2}h^{3}\pi}{12} [/mm] raus.
Mir ist nicht ganz klar, was bei [mm] x_{S}, y_{S} [/mm] rauskommen soll.
Ich habe mir gedacht, dass x-Koordinate bzw. y-Koordinate bei den jeweiligen Integrationen nur Konstanten sind. Deshalb kommt bei mir raus,
dass [mm] x_{S}= [/mm] x [mm] y_{S}= [/mm] y, da ansonsten x bzw. [mm] y*\bruch{M}{M} [/mm] steht.
Das wäre was anderes als es bei Dir herauskam.
Im Prinzip weiß ich nicht, was man bei den Integralen anderes rechnen soll , als es bei M war.
Wo ist der Fehler?
LG
Igor
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> wenn ich [mm]z_{S}[/mm] berechne, dann kommt bei mir
> [mm]\bruch{ R^{2}h^{3}\pi}{12}[/mm] raus.
Das kann nicht stimmen. Dies wäre ja das
Produkt aus Kegelmasse und Kegelhöhe ...
> Mir ist nicht ganz klar, was bei [mm]x_{S}, y_{S}[/mm] rauskommen
> soll.
Weil die Kegelachse die z-Achse ist und die
Masse rotationssymmetrisch um diese
Achse verteilt ist, muss der Schwerpunkt
auf der z-Achse liegen, also [mm] x_S=y_S=0 [/mm] .
Wenn du eines der entsprechenden Inte-
grale berechnen willst, musst du [mm] x=r*cos(\varphi)
[/mm]
bzw. [mm] y=r*sin(\varphi) [/mm] einsetzen !
> Ich habe mir gedacht, dass x-Koordinate bzw. y-Koordinate
> bei den jeweiligen Integrationen nur Konstanten sind.
Nein, das sind sie eben nicht.
> Deshalb kommt bei mir raus,
> dass [mm]x_{S}=[/mm] x [mm]y_{S}=[/mm] y, da ansonsten x bzw.
> [mm]y*\bruch{M}{M}[/mm] steht.
> Das wäre was anderes als es bei Dir herauskam.
> Im Prinzip weiß ich nicht, was man bei den Integralen
> anderes rechnen soll , als es bei M war.
>
> Wo ist der Fehler?
Nehmen wir das Integral für die z-Koordinate:
$ [mm] \red{z_S}\cdot{}M\ [/mm] =\ [mm] \integral_{\varphi=0}^{2\,\pi}\integral_{z=0}^{h}\integral_{r=0}^{R\cdot{}(1-\bruch{z}{h})}\red{\underbrace{z}_{z-Koord.}}\cdot{}\underbrace{z}_{Dichte}\cdot{}\,\underbrace{r\cdot{}dr\ dz\,d\varphi}_{=\,dx\,dy\,dz} [/mm] $
Um die Übersicht zu wahren, lohnt sich die
folgende Schreibweise:
$\ [mm] z_S\ [/mm] =\ [mm] \bruch{1}{M}*\integral_{\varphi=0}^{2\,\pi}d\varphi\integral_{z=0}^{h}dz*z^2\integral_{r=0}^{R\cdot{}(1-\bruch{z}{h})}dr [/mm] *r$
Jetzt der Reihe nach, von innen nach aussen,
integrieren.
LG
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