Maß konstruieren < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:37 Sa 20.10.2007 | | Autor: | DOKTORI |
| Aufgabe | Seien [mm] A=\{1,2,3,4\} [/mm] und [mm] D=\{0, \{1,2\},\{1,3\},\{3,4\},\{2,4\},A\}.
[/mm]
Konstruiren Sie zwei verschidene Maße auf σ(D), die auf D übereinstimmen. |
Kann mir jemand mit einer kleine Bsp. sagen wie man Maßen konstruiert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Sa 20.10.2007 | | Autor: | SEcki |
> Kann mir jemand mit einer kleine Bsp. sagen wie man Maßen
> konstruiert?
Ganz im Allgemeinen, in dem man angibt, was die Werte auf den Mengen sind. Allerdings kann man sich durch die Eigenschaften des Maßes einige Angaben sparen. Hier im Bsp. musst du wegen Additivität des Maßes blos für ein-elementige Mengen die Maße angeben, zB [m]\mu(\{1\})=1[/m]. Jetzt musst du so zwei Maßes basteln, die auf D gleich sind (ohne lang drüber nachzudenken sind sicherlich Gleichungen wie [m]2+2=1+3[/m] hilfreich  )
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Sa 20.10.2007 | | Autor: | DOKTORI |
| Aufgabe | | Es wäre super wenn jemand konkret ein maß bauen kann.Der Tipp hat mich nicht weiter geholfen.... |
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> Es wäre super wenn jemand konkret ein maß bauen kann.Der
> Tipp hat mich nicht weiter geholfen....
>
Du könntest bei dieser speziellen Aufgabe einen einfachen Ansatz machen und schauen, ob Du damit so durchkommst, dass noch ein Freiheitsgrad übrigbleibt, der Dir erlaubt, zwei verschiedene, aber auf $D$ übereinstimmende Masse anzugeben.
Etwa so: Sei [mm] $m_i [/mm] := [mm] \mu(\{i\})$, [/mm] für $i=1,2,3,4$. Durch diese Werte ist [mm] $\mu$ [/mm] auf [mm] $\sigma(D)$ [/mm] vollständig bestimmt. Nehmen wir, der Einfachheit halber, zudem an, dass [mm] $\mu(\{1,2\})=\mu(\{1,3\})=\mu(\{3,4\})=\mu(\{2,4\})=1$ [/mm] ist, dann muss also folgendes Gleichungssystem für die [mm] $m_i$ [/mm] gelten:
[mm]\begin{array}{rcrcl}
m_1 &+& m_2 &=& 1\\
m_1 &+& m_3 &=& 1\\
m_3 &+& m_4 &=& 1\\
m_2 &+& m_4 &=& 1
\end{array}[/mm]
Dieses System hat die Lösungen [mm] $\mathcal{L}=\{(m_1|m_2|m_3|m_4)) \mid m_1=m_4=z, m_2=m_3=1-z, z\in\IR\}$
[/mm]
Daraus folgt, dass [mm] $\mu(A)=m_1+m_2+m_3+m_4=2$. $\mu(\emptyset)$ [/mm] muss ohnehin gleich $0$ sein. Somit haben wir die Möglichkeit, zwei verschiedene Masse [mm] $\mu$ [/mm] anzugeben, die auf $D$ übereinstimmen: indem wir für $z$ verschiedene Werte aus [mm] $\IR$ [/mm] einsetzen.
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