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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 So 03.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Sei [mm] \mu [/mm] das Lebesque-Maß auf [mm] \mathbb R^2 [/mm] und
[mm] A = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 | 0 \le x \le \pi, & x^2 - \pi \le y \le \sin(x) + 1 \} [/mm]
Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
(a) [mm] \mu (A) \ge 1 [/mm]
(b) [mm] \mu (A) = \pi^3 + 2 \pi [/mm]
(c) [mm] \mu (A) = \bruch{ \pi^3 }{6} [/mm]
(d) [mm] \mu(A) \le \pi^3 [/mm] + 2 [mm] \pi [/mm] [/mm]
(e) [mm] \mu [/mm] (A) [mm] \ge \bruch{ 2 \pi^3 }{3} [/mm] + [mm] \pi [/mm] + 2 [/mm]
(f) [mm] \mu [/mm] (A) = 0 [/mm]
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Guten Abend!
Wir haben als Vorbereitung für die Analysis III - Klausur eine Probeklausur erhalten. Dies ist die erste Aufgabe, die ich ohne Probleme gelöst habe und würde gerne nur bestätigt wissen, dass das so auch alles korrekt ist.
Rechnung:
[mm] \mu (A) = \integral_0^{ \pi} \integral_{ x^2 - \pi^2 }^{ \sin(x) +1 } dydx [/mm]
[mm] = \integral_0^{ \pi} \left[ y \right]_{ x^2 - \pi^2 }^{ \sin(x) + 1} dydx [/mm]
[mm] = \integral_0^{ \pi} ( \sin(x) + 1 )- ( x^2 - \pi^2 ) dy [/mm]
[mm] = \left[ - \cos(x) + x + \bruch{1}{3} \x^3 + \pi^2 x \right]_{0}^{ \pi } [/mm]
[mm] = 2 + \pi + \bruch{2}{3} \pi^3 [/mm]
Somit würde ich die Antworten a,d und e als wahr ansehen.
Korrekt?
Viele Dank für die Mühe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 So 03.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Sei [mm]\mu[/mm] das Lebesque-Maß auf [mm]\mathbb R^2[/mm] und
>
> [mm]A = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 | 0 \le x \le \pi, & x^2 - \pi \le y \le \sin(x) + 1 \}[/mm]
>
> Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
>
> (a) [mm]\mu (A) \ge 1[/mm]
>
> (b) [mm]\mu (A) = \pi^3 + 2 \pi[/mm]
>
> (c) [mm]\mu (A) = \bruch{ \pi^3 }{6}[/mm]
>
> (d) [mm]\mu(A) \le \pi^3[/mm] + 2 [mm]\pi[/mm][/mm]
>
> (e) [mm]\mu[/mm] (A) [mm]\ge \bruch{ 2 \pi^3 }{3}[/mm] + [mm]\pi[/mm] + 2[/mm]
>
> (f) [mm]\mu[/mm] (A) = 0[/mm]
>
> Guten Abend!
>
> Wir haben als Vorbereitung für die Analysis III - Klausur
> eine Probeklausur erhalten. Dies ist die erste Aufgabe, die
> ich ohne Probleme gelöst habe und würde gerne nur bestätigt
> wissen, dass das so auch alles korrekt ist.
>
> Rechnung:
>
> [mm]\mu (A) = \integral_0^{ \pi} \integral_{ x^2 - \pi^2 }^{ \sin(x) +1 } dydx[/mm]
Ist die untere Grenze [mm] $x^2-\pi$ [/mm] oder [mm] $x^2-\pi^2$? [/mm] In der Definition von A hast du nur [mm] $\pi$ [/mm] geschrieben. Wenn es kein Quadrat beim [mm] $\pi$ [/mm] ist, so musst du aufpassen: Zwischen [mm] $x=\bruch{\pi}{2}$ [/mm] und [mm] $x=\pi$ [/mm] schneiden sich die beiden Kurven [mm] $x^2-\pi$ [/mm] und [mm] $\sin [/mm] x +1 $. Du darfst also für die Berechnung des Maßes nur bis zum Schnittpunkt integrieren.
Trotzdem ist auch dann deine Rechnung nicht unnütz: du kannst dein Integral in die zwei Teile rechts und links vom Schnittpunkt zerlegen und daraus etwas ableiten.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 So 03.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
> Hallo!
Es muss natürlich heißen:
Sei [mm]\mu[/mm] das Lebesque-Maß auf [mm]\mathbb R^2[/mm] und
[mm]A = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 | 0 \le x \le \pi, & x^2 - \pi^2 \le y \le \sin(x) + 1 \}[/mm]
Ich denke, dass dann meine Rechnung so richtig sein könnte, oder?
Viel Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:44 Mo 04.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> > Hallo!
>
> Es muss natürlich heißen:
>
> Sei [mm]\mu[/mm] das Lebesque-Maß auf [mm]\mathbb R^2[/mm] und
> [mm]A = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 | 0 \le x \le \pi, & x^2 - \pi^2 \le y \le \sin(x) + 1 \}[/mm]
>
>
> Ich denke, dass dann meine Rechnung so richtig sein könnte,
> oder?
Ja, dann ist Alles in Ordnung.
Viele Grüße
Rainer
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