Maß des Schnitts muss 0 sein < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 So 25.10.2020 | | Autor: | Jellal |
Guten Abend!
Ich soll folgendes zeigen: Sei [mm] (X,\Sigma,\mu) [/mm] ein Maßraum und [mm] E_{n}\in \Sigma [/mm] eine Folge von Mengen mit [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\mu(E_{n})<\infty.
[/mm]
Ich soll zeigen, dass dann [mm] \mu(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n})=0.
[/mm]
Dabei wird auf die Linearität des Lebesgue-Integrals für nicht-negative messbare Funktionen verwiesen, und auf die Tatsache, dass mit solchen Funktionen über
[mm] \nu(E)=\integral_{E}^{}{f(x) d\mu(x)} [/mm] neue Maße definiert werden.
Ich glaube aber, diesen Hinweis nicht zu brauchen.
Wenn [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\mu(E_{n})<\infty, [/mm] dann muss [mm] \mu(E_{n}) [/mm] eine Nullfolge sein (die Maße sind nichtnegativ und die Reihe muss daher konvergieren). Dann folgt doch
[mm] \mu(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n}) \le \mu(E_{n}) [/mm] für alle n wegen Monotonie, und daher auch 0 [mm] \le \mu(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n}) \le \limes_{n\rightarrow\infty} \mu(E_{n}) [/mm] = 0.
Stimmt was nicht? Wie würde der Hinweis helfen?
vG.
Jellal
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Mo 26.10.2020 | | Autor: | fred97 |
> Guten Abend!
>
> Ich soll folgendes zeigen: Sei [mm](X,\Sigma,\mu)[/mm] ein Maßraum
> und [mm]E_{n}\in \Sigma[/mm] eine Folge von Mengen mit
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\mu(E_{n})<\infty.[/mm]
>
> Ich soll zeigen, dass dann
> [mm]\mu(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n})=0.[/mm]
> Dabei wird auf die Linearität des Lebesgue-Integrals für
> nicht-negative messbare Funktionen verwiesen, und auf die
> Tatsache, dass mit solchen Funktionen über
> [mm]\nu(E)=\integral_{E}^{}{f(x) d\mu(x)}[/mm] neue Maße definiert
> werden.
>
> Ich glaube aber, diesen Hinweis nicht zu brauchen.
> Wenn [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\mu(E_{n})<\infty,[/mm] dann muss
> [mm]\mu(E_{n})[/mm] eine Nullfolge sein (die Maße sind nichtnegativ
> und die Reihe muss daher konvergieren). Dann folgt doch
> [mm]\mu(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n}) \le \mu(E_{n})[/mm] für alle
> n wegen Monotonie, und daher auch 0 [mm]\le \mu(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n}) \le \limes_{n\rightarrow\infty} \mu(E_{n})[/mm]
> = 0.
>
> Stimmt was nicht?
Deine Argumentation ist richtig.
> Wie würde der Hinweis helfen?
>
> vG.
> Jellal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 So 01.11.2020 | | Autor: | Jellal |
Vielen Dank, Fred!!
|
|
|
|
