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| Aufgabe | Für [mm] $r\in (0,\infty)$ [/mm] betrachten wir die Skalierungsabbildung
[mm] $h_r\colon \mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^d$
[/mm]
[mm] $x\mapsto [/mm] rx$
Zeigen Sie, dass für jede Teilmenge [mm] $S\subseteq\mathbb{R}^d$ [/mm] gilt:
a) [mm] $\mu^{\ast}(h_r(S))=r^d\mu^{\ast}(S)$
[/mm]
b) S ist genau dann Lebesgue-messbar, wenn [mm] $h_r(S)$ [/mm] Lebesgue-messbar ist. |
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit dieser Aufgabe.
Für den Teil a) ist als Hinweis gegeben, dass es reicht [mm] "$\leq$" [/mm] zu zeigen. Warum man [mm] "$\geq$" [/mm] nicht zeigen braucht ist mir bisher noch unklar. Wahrscheinlich gibt es ein einfaches Argument, welches mir bisher nicht eingefallen ist.
Ich möchte nun also zeigen, dass
[mm] $\mu^{\ast}(h_r(S))\leq r^d\mu^{\ast}(S)$
[/mm]
Für den Fall [mm] $\mu^{\ast}(S)=\infty$ [/mm] ist die Aussage klar.
Sei nun also [mm] $\mu^{\ast}(S)<\infty$. [/mm] Sei [mm] $\epsilon>0$, [/mm] dann gibt es abgeschlossene Würfel [mm] $W_n$ [/mm] mit [mm] $n\in\mathbb{N}$, [/mm] so dass
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty} |W_n|\leq r^d\mu^{\ast}(S)+\epsilon$
[/mm]
Da [mm] $W_n$ [/mm] Würfel, gibt es Würfel [mm] $V_n$, [/mm] mit [mm] $|V_n|\leq |W_n|$ [/mm] und
[mm] $r^d|V_n|=|W_n|$
[/mm]
Ich skaliere also einfach die entsprechenden Seitenlänge der Würfel [mm] $W_n$ [/mm] um den Faktor $r$ und erhalte dadurch wieder einen Würfel.
Also
[mm] \sum_{n=1}^\infty |r^dV_n|=\sum_{n=1}^{\infty} |W_n|
[/mm]
Da [mm] $V_n, W_n\in\mathbb{R}^d$ [/mm] gilt [mm] $r^dV_n\stackrel{\text{?}}{=}h_r(V_n)$
[/mm]
Hier bin ich mir nicht ganz sicher.
Die Skalierungsabbildung ist [mm] $x\mapsto [/mm] rx$.
Ich benutze hier multilinearität, also das ich bezüglich jeder der d-Komponenten des [mm] $x\in\mathbb{R}^d$ [/mm] ein r "rausziehen" kann.
Damit wäre dann
[mm] \mu^{\ast}(h_r(S))=\sum_{n=1}^{\infty}{|h_r(V_n)|}=\sum_{n=1}^{\infty} |W_n|\leq r^d\mu(S)+\epsilon$
[/mm]
Lasse ich [mm] $\epsilon$ [/mm] nun gegen Null gehen, folgt die Behauptung.
Ich hoffe dies ist nicht komplett unbrauchbar.
Über eine Korrektur und Tipps wie ich meine Fehler ausbessern kann würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.
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Hi,
für Aufgabenteil b) habe ich mir erstmal folgendes überlegt.
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Sei $S$ Lebesgue-messbar, wähle [mm] $\epsilon=\frac{\delta}{r^d}$ [/mm] mit [mm] $\epsilon,\delta>0$, [/mm] dann existiert eine offene Teilmenge (offen in [mm] $\mathbb{R}^d$) $U\subseteq\mathbb{R}^d$ [/mm] mit [mm] $S\subseteq [/mm] U$ und [mm] $\mu^{\ast}(U-S)\leq\delta$
[/mm]
Nach Aufgabenteil a) gilt
[mm] $\mu^{\ast}(U-S)=r^d\mu^{\ast}(h_r(U-S))\leq\delta$
[/mm]
Also
[mm] $\mu^{\ast}(h_r(U-S))\leq\frac{\delta}{r^d}=\epsilon$
[/mm]
Kann ich das so machen?
Die Rückrichtung würde dann Analog funktionieren.
Über eine Anmerkung würde ich mich sehr freuen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 04.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Kann mir wirklich niemand weiterhelfen?
Ich bin mir leider nicht ganz sicher.
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Hi,
hier noch einmal die Definition wie wir Lebesgue-messbar definiert hatten:
Eine Teilmenge [mm] $S\subseteq\mathbb{R}^d$ [/mm] heißt Lebesgue-messbar, falls gilt:
Zu jedem [mm] $\epsilon>0$ [/mm] existiert eine offene Teilmenge [mm] U\subseteq\mathbb{R}^d [/mm] (also offen in [mm] \mathbb{R}^d) [/mm] mit [mm] $S\subseteq [/mm] U$ und [mm] $\mu^{\ast}(U-S)\leq\epsilon$
[/mm]
Falls S Lebesgue-messbar ist, so setzen wir [mm] $\mu(S):=\mu^{\ast}(S)$
[/mm]
Und das äußere Maß für [mm] $S\subseteq\mathbb{R}^d$ [/mm] wie folgt:
[mm] $\mu^{\ast}(S):=\operatorname{inf}\{\sum_{n=1}^\infty |W_n|\quad| W_n\,\,\text{abgeschlossene Würfel}\,\, S\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty W_n\}$
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mi 04.11.2015 | | Autor: | matux |
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