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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Do 21.10.2010 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | Sei X=[0,1]. Zeigen Sie: es gibt keinen Maß [mm] \mu [/mm] auf [mm] \mathcal{P}(X) [/mm] mit [mm] \mu{(X)}=1, [/mm]
das nur die Werte 0 und 1 annimmt und das allen einelementigen
Teilmengen von X den Wert 0 zuordnet. |
Hallo, allerseits!!
Ich habe mir folgendes zur Aufgabe überlegt:
Angenommen, es existiert so ein Maß [mm] \mu [/mm] .
Es ist bekannt, dass [mm] [0,1]\subset\IR, [/mm] so dass [mm] \mu{(X)}=\infty
[/mm]
Andererseits kann man das Intervall [0,1] so zerlegen: [mm] [0,1]=\{0\}\cup{\bigcup_{n=1}^{\infty}{(\bruch{1}{2^{n+1}},\bruch{1}{2^n}]}}.
[/mm]
Diese Menge ist disjunkt, dann kann man die Additivität von einem MAß ausnutzen:
[mm] \mu{([0,1])}=\mu{(\{0\})}+\summe_{n=0}^{\infty}{\bruch{1}{2^n}-\bruch{1}{2^{n+1}}}=\mu{\{0\}}+1\not=\infty.
[/mm]
Das das Maß nicht nur 0 und 1 annehmen kann, sieht man daraus dass zB [mm] \mu({(1/4,1/2]})=1/4.
[/mm]
Aber dass das Maß von einelementigen Teilmenge nicht 0 sein kann, kann ich nicht beweisen,
denn wenn ich [mm] \mu{(a,b]}=b-a [/mm] definiere, dann ist es nehmlich [mm] \mu{\{0\}}=0, [/mm] weil es ein einziger Punkt ist.
Bin ich vll auf dem falschen Weg?
Es wäre nett, wenn sich jemand von Euch das angucken und mir weiter helfen würde.
Freue mich schon über eure Antwort!!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Do 21.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei X=[0,1]. Zeigen Sie: es gibt keinen Maß [mm]\mu[/mm] auf
> [mm]\mathcal{P}(X)[/mm] mit [mm]\mu{(X)}=1,[/mm]
> das nur die Werte 0 und 1 annimmt und das allen
> einelementigen
> Teilmengen von X den Wert 0 zuordnet.
>
> Hallo, allerseits!!
> Ich habe mir folgendes zur Aufgabe überlegt:
> Angenommen, es existiert so ein Maß [mm]\mu[/mm] .
> Es ist bekannt, dass [mm][0,1]\subset\IR,[/mm] so dass
> [mm]\mu{(X)}=\infty[/mm]
Hä ? Wie kommst Du denn auf so etwas ?
Die Aufgabe schreit nach einem Widerspruchsbeweis. Nimm also an, es gäbe ein Maß mit den obigen Eigenschaften. Insbesondere:
[mm]\mu{(X)}=1[/mm]
> Andererseits kann man das Intervall [0,1] so zerlegen:
> [mm][0,1]=\{0\}\cup{\bigcup_{n=1}^{\infty}{(\bruch{1}{2^{n+1}},\bruch{1}{2^n}]}}.[/mm]
> Diese Menge ist disjunkt, dann kann man die Additivität
> von einem MAß ausnutzen:
>
> [mm]\mu{([0,1])}=\mu{(\{0\})}+\summe_{n=0}^{\infty}{\bruch{1}{2^n}-\bruch{1}{2^{n+1}}}=\mu{\{0\}}+1\not=\infty.[/mm]
Wie kommst Du darauf ??
> Das das Maß nicht nur 0 und 1 annehmen kann, sieht man
> daraus dass zB [mm]\mu({(1/4,1/2]})=1/4.[/mm]
Wieso sollte das gelten ?
Was machst Du eigentlich für Sachen ?
> Aber dass das Maß von einelementigen Teilmenge nicht 0
> sein kann, kann ich nicht beweisen,
Das sollst Du auch nicht.
> denn wenn ich [mm]\mu{(a,b]}=b-a[/mm] definiere,
Hier ist nichts zu definieren !
> dann ist es
> nehmlich [mm]\mu{\{0\}}=0,[/mm] weil es ein einziger Punkt ist.
korrekt: nämlich. (wer nämlich mit h schreibt ist dä....)
> Bin ich vll auf dem falschen Weg?
Völlig !
> Es wäre nett, wenn sich jemand von Euch das angucken und
> mir weiter helfen würde.
Nimm an, es gäbe ein Maß [mm] \mu [/mm] auf $ [mm] \mathcal{P}(X) [/mm] $ mit $ [mm] \mu{(X)}=1, [/mm] $, [mm] \mu(A) \in [/mm] { 0,1 } für jede Teilmenge A von X und [mm] \mu(\{a\})=0 [/mm] für jedes a [mm] \in [/mm] X.
Führe das zum Widerspruch.
FRED
> Freue mich schon über eure Antwort!!
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Do 21.10.2010 | | Autor: | math101 |
Hallo, FRED!!
Riiiiesen Danke Schön für deine Antwort!!
Jetzt sehe ich auch dass meine Überlegungen ziemlich dämmlich sind.
Noch ein Versuch:
Also angenommen es gäbe so ein Maß [mm] \mu.
[/mm]
Sei [mm] A\in [/mm] X mit [mm] A=[0,\bruch{1+0}{2}]\subset [/mm] [0,1], dann [mm] \mu{(A)}=0 [/mm] oder [mm] \mu{(A)}=1, [/mm] nach Voraussetzung.
Aber A [mm] \not= [/mm] X und [mm] A\not= [/mm] {a}. Somit kann [mm] \mu{(A)}\in\{0,1\} [/mm] nicht stimmen.
Kann ich das so beweisen?
Vielen-vielen Dank für deine Hilfe!!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Do 21.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, FRED!!
> Riiiiesen Danke Schön für deine Antwort!!
> Jetzt sehe ich auch dass meine Überlegungen ziemlich
> dämmlich sind.
> Noch ein Versuch:
> Also angenommen es gäbe so ein Maß [mm]\mu.[/mm]
> Sei [mm]A\in[/mm] X mit [mm]A=[0,\bruch{1+0}{2}]\subset[/mm] [0,1], dann
> [mm]\mu{(A)}=0[/mm] oder [mm]\mu{(A)}=1,[/mm] nach Voraussetzung.
> Aber A [mm]\not=[/mm] X und [mm]A\not=[/mm] {a}.
> Somit kann [mm]\mu{(A)}\in\{0,1\}[/mm] nicht stimmen.
Ist mir schleierhaft wie Du darauf kommst !
>
> Kann ich das so beweisen?
Nein.
FRED
> Vielen-vielen Dank für deine Hilfe!!
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Do 21.10.2010 | | Autor: | math101 |
Hallo, FRED!!
Könntest du mi noch einen Tipp geben, wie ich hier vorgehen soll?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Do 21.10.2010 | | Autor: | fred97 |
1. Schritt: X = [0,1/2) [mm] \cup [/mm] [1/2, 1]
Dann
1= [mm] \mu([0,1/2))+\mu([1/2, [/mm] 1])
In der Summe rechts können nicht beide Summande = 1 sein.
Es ist [mm] \mu([0,1/2))=1 [/mm] und [mm] \mu([1/2, [/mm] 1])=0 oder umgekehrt.
Ist [mm] \mu([0,1/2))=1, [/mm] so ist [mm] \mu([0,1/2])=\mu( [/mm] [0,1/2) [mm] \cup \{1/2\})= \mu( [/mm] [0,1/2)) [mm] +\mu(\{1/2\})=1+0=1
[/mm]
Fazit : Teilt man [0,1] in die Teile [mm] I_1=[0,1/2] [/mm] und [mm] I_2= [/mm] [1/2,1], so ist [mm] \mu(I_1)=1 [/mm] und [mm] \mu(I_2)=0 [/mm] oder umgekehrt.
Es ex. jedenfalls ein abgeschlossenes Intervall [mm] J_1 [/mm] in [0,1] mit [mm] \mu(J_1)=1
[/mm]
2. Schritt: teile [mm] J_1 [/mm] in 2 Hälften, so gibt es wieder ein abgeschlossenes Intervall [mm] J_2 [/mm] in [mm] J_1 [/mm] mit [mm] \mu(J_2)=1
[/mm]
3. Schritt: in [mm] J_2 [/mm] gibt es ein abgeschlossenens Intervall [mm] J_3 [/mm] mit [mm] \mu(J_3)=1
[/mm]
So fortfahrend erhält man abgeschlossene Intervalle [mm] J_1, J_2, J_3, [/mm] .... mit:
[mm] J_1 \supseteq J_2 \supseteq J_3 [/mm] ....... und [mm] \mu(J_k)=1 [/mm] für jedes k.
Die Folge [mm] (J_k) [/mm] bildet eine Intervallschachtellung, insbesondere ex. ein a [mm] \in [/mm] [0,1] mit:
[mm] \bigcap_{k=1}^{\infty}J_k= [/mm] { a }
Es folgt (mit der Stetigkeit von [mm] \mu [/mm] von oben)
0= [mm] \mu( [/mm] { a } ) = [mm] \mu( \bigcap_{k=1}^{\infty}J_k)= \limes_{k\rightarrow\infty} \mu(J_k)=1
[/mm]
Widerspruch !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:54 Di 26.10.2010 | | Autor: | math101 |
Hallo, Fred!!
Danke dass du das vorgerechnet hast, aber ich wollte nur einen Tipp haben.
Trotzdem tausend Dank!!
Gruß
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