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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:39 Mi 18.08.2010 | | Autor: | mathetuV |
hallo all zusammen,
kann mir jemand erklären wann ein äußeres maß kein maß ist und wie man das zeigen kann?
vielen dank im vorraus
gruß
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Huhu,
gut wäre es erstmal, wenn du die Definitionen von beiden zusammenträgst.
Was ist der Unterschied zwischen beiden Definitionen?
Welche Eigenschaft hat also ein Maß, dass ein äußeres Maß nicht unbedingt haben muss?
Und zu guter letzt (vllt. auch mit ein bisschen Hilfe) konstruiert man sich dann ein äußeres Maß, was die Eigenschaften eines Maß eben nicht erfüllt.
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:25 Do 19.08.2010 | | Autor: | fred97 |
Für $A [mm] \subseteq \IR$ [/mm] setze
[mm] $\mu(A)=0$, [/mm] falls A höchstens abzählbar, und [mm] $\mu(A) [/mm] =1$ sonst.
Dann ist [mm] \mu [/mm] ein äußeres Maß auf der Potenzmenge von [mm] \IR.
[/mm]
Setze [mm] $A_1=\{0 \}$ [/mm] , [mm] $A_2= [/mm] (0, [mm] \infty)$ [/mm] und [mm] $A_3=(-\infty,0)$. [/mm] Dann sind diese 3 Mengen paarweise disjunkt und es gilt:
[mm] $\mu(\bigcup_{i=1}^{3}A_i) [/mm] = [mm] \mu(\IR)=1$
[/mm]
und
[mm] $\summe_{i=1}^{3} \mu(A_i)=2$.
[/mm]
[mm] \mu [/mm] ist also nicht additiv und somit auch nicht [mm] \sigma [/mm] - additiv, also weit entfernt davon ein Maß zu sein.
FRED
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