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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:49 Mi 02.09.2015 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Sei [mm](\Omega,\mathcal A,P)=([0,1],\mathcal B_{[0,1]}[/mm],[mm]\lambda_{[0,1]})[/mm] und [mm]M_n=n*1_{[0,\frac{1}{n}]}[/mm].
Zeigene Sie, dass [mm](M_n)_n\in\mathbb N[/mm] ein fast sicher konvergentes Martingal ist und bestimmen Sie den Grenzwert. |
Hallo zusammen,
ich habe mir ein paar Gedanken zu der Aufgabe gemacht, ich komme allerdings bei dem Nachweis der Martingaleigenschaft nicht weiter.
Hier sind zunächst einmal meine Überlegungen zu der Aufgabe:
1. [mm](M_n)_n[/mm] ist nach dem Martingalkonvergenzsatz fast sicher konvergent, da [mm](M_n)_n[/mm] ein nichtnegatives Martingal ist.
2. [mm]M_n[/mm] konvergiert fast sicher gegen 0, da für alle [mm]\omega\in(0,1][/mm] gilt: [mm]\lim_{n\to\infty}n*1_{[0,\frac{1}{n}]}(\omega)=0[/mm] und
ferner [mm]P((0,1])=1[/mm].
3. Als Filtration habe ich die natürliche gewählt: [mm]\mathcal F_n=\sigma(M_1,...,M_n)[/mm].
Es muss ja gezeigt werden, dass [mm]E[M_{n+1}-M_n|\mathcal F_n]=0[/mm] ist.
[mm]E[M_{n+1}-M_n|\mathcal F_n]=E[1_{[0,\frac{1}{n+1}]}-n*1_{[\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]}|\mathcal F_n][/mm]
Weiter komme ich allerdings nicht.
Hat jemand einen Tipp für mich?
Viele Grüße
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Do 03.09.2015 | | Autor: | Fry |
Hallo,
die Frage hat sich erledigt,
habe als Filtration [mm]\mathcal F_n=[/mm][mm]\sigma\left(\left[0,\frac{1}{n}\right]\right)[/mm] verwendet, dann klappt das.
Gruß
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Fr 04.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Fry!
> die Frage hat sich erledigt,
> habe als Filtration [mm]\mathcal F_n=[/mm][mm]\sigma\left(\left[0,\frac{1}{n}\right]\right)[/mm]
> verwendet, dann klappt das.
Durch diese Wahl von [mm] $\mathcal{F}_n$ [/mm] wird gar keine Filtration erklärt.
Ich gehe im Übrigen davon aus, dass man sich nicht selbst eine Filtration wählen soll, sondern dass mit einem "Martingal schlechthin" ein Martingal bezüglich der natürlichen Filtration gemeint ist.
Ich weiß nicht, ob es einen eleganteren Lösungsweg gibt, aber ein explizites Bestimmen der natürlichen Filtration und die Verwendung der Definition des bedingten Erwartungswertes führen hier zum Ziel.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 Fr 04.09.2015 | | Autor: | Fry |
Hey Tobias,
ja, mit der natürlichen Filtration komm ich leider nicht weiter...
Oh, du hast vollkommen Recht, jetzt seh ich auch, was du meinst. :(
Viele Grüße
Fry
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