Markov-Ungleichung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Mo 21.01.2013 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | Seien X,Y zwei beliebige ZV auf einem diskreten Wraum [mm] (\Omega,P).
[/mm]
Zeigen Sie einmal mit der Markov-Ungleichung und einmal direkt nur mit Betrachtung des
Erwartungswertes, dass: [mm] $E((X-Y)^2)=0 \Rightarrow [/mm] P(X=Y)=1.$ |
Hallo.
Wir haben die Markov-Ungleichung nur kurz eingeführt und für X [mm] \ge [/mm] 0 eine diskrete Zufallsvariable (d.h. X nimmt nur nicht-negative reelle Werte an) auf [mm] (\Omega,P) [/mm] und relle a>0 bewiesen. Die Formel sieht dann so aus:
[mm] P(X\ge a)\le\frac{E(X)}{a}.
[/mm]
Leider weiss ich nicht wie man hier mit der Markov-Ungleichung ansetzen soll und aus einem Erwartungswert eine Wahrscheinlichkeit folgert. Kann mir dabei jemand helfen?
gruß triad
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Hiho,
na du weißt, dass gilt: $E[Z] = 0$ mit [mm] $Z=(X-Y)^2$.
[/mm]
Nun ist Z eine nichtnegative Zufallsvariable.
Was sagt dann die Markovungleichung für eine beliebiges a>0 dazu?
MFG,
Gono?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mo 21.01.2013 | | Autor: | triad |
> Hiho,
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> na du weißt, dass gilt: [mm]E[Z] = 0[/mm] mit [mm]Z=(X-Y)^2[/mm].
> Nun ist Z eine nichtnegative Zufallsvariable.
> Was sagt dann die Markovungleichung für eine beliebiges
> a>0 dazu?
>
> MFG,
> Gono?
Aus E(Z)=0 folgt mit einem a>0, dass [mm] \frac{E(Z)}{a}=0 [/mm] und mit der Markovungleichung [mm] $0=\frac{E(Z)}{a}\ge P(Z\ge [/mm] a)$. Bedeutet das nicht, da eine Wkeit nie negativ ist, dass [mm] $P(Z\ge [/mm] a)=0$? Wie komme ich dann auf P(X=Y) und was passiert mit dem a?
gruß triad
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Hiho,
> Bedeutet das nicht, da eine Wkeit nie negativ ist, dass [mm]P(Z\ge a)=0[/mm]?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und beachte: für alle a>0 !
Folgere daraus mit Stetigkeit von unten, dass $P(Z> 0)=0$.
Da Z nichtnegativ ist, gilt dann also für $P(Z=0)$ was?
Dann setze Z ein....
MFG,
Gono.
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