Markov-Kette (Eigenschaft) < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Definition einer Markovkette: Sei $I$ endlich oder abzählbar und [mm] $(X_n)_{n\in \N}$ [/mm] eine Folge $I$-wertiger Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $(\Omega,F,P)$. [/mm] Nun heißt [mm] $(X_n)_n$ [/mm] Markov-Kette mit Zustandsraum $I$, falls für alle [mm] $n\in |N_0$ [/mm] und alle [mm] $i_0,...,i_{n+1}\in [/mm] I$ mit [mm] $P(X_0=i_0,...,X_n=i_n)>0$ [/mm] gilt:
[mm] $P(X_{n+1}=i_{n+1}|X_l=i_l,l=0,...,n)=P(X_{n+1}=i_{n+1}|X_n=i_n)$ [/mm] (*) |
Ich habe bei der Definition ein Wohldefiniertheitsproblem. Ich sehe nicht, wieso
[mm] $P(X_{n+1}=i_{n+1},X_n=i_n)>0$
[/mm]
gilt? Dies muss aber erfüllt sein, damit man die bedingte Wahrscheinlichkeit auf der rechten Seite von (*) hinschreiben darf.
Wie kann man das einsehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Sa 11.10.2008 | | Autor: | Blech |
> Definition einer Markovkette: Sei [mm]I[/mm] endlich oder abzählbar
> und [mm](X_n)_{n\in \N}[/mm] eine Folge [mm]I[/mm]-wertiger Zufallsgrößen auf
> einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega,F,P)[/mm]. Nun heißt
> [mm](X_n)_n[/mm] Markov-Kette mit Zustandsraum [mm]I[/mm], falls für alle
> [mm]n\in |N_0[/mm] und alle [mm]i_0,...,i_{n+1}\in I[/mm] mit
> [mm]P(X_0=i_0,...,X_n=i_n)>0[/mm] gilt:
>
> [mm]P(X_{n+1}=i_{n+1}|X_l=i_l,l=0,...,n)=P(X_{n+1}=i_{n+1}|X_n=i_n)[/mm]
> (*)
> Ich habe bei der Definition ein Wohldefiniertheitsproblem.
> Ich sehe nicht, wieso
>
> [mm]P(X_{n+1}=i_{n+1},X_n=i_n)>0[/mm]
Damit Du P(A|B) hinschreiben kannst, muß nur P(B)>0 gelten (weil wir dadurch in der Definition teilen), in diesem Fall bei (*) also [mm] $P(X_n=i_n)>0$, [/mm] nicht [mm] $P(X_{n+1}=i_{n+1},X_n=i_n)>0$ [/mm] .
Nach Voraussetzung gilt [mm]P(X_0=i_0,...,X_n=i_n)>0[/mm] und es ist
[mm]P(X_n=i_n)>P(X_0=i_0,...,X_n=i_n)[/mm], weil [mm] $\{X_n=i_n\}\supseteq \{X_0=i_0,\ldots,X_n=i_n\}$
[/mm]
ciao
Stefan
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Vielen Dank, Stefan. Du hast natürlich Recht. Das war ein Denkfehler von mir.
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