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| Aufgabe | | Sie würfeln mit einem fairen Würfel. Wie lange dauert es im Durchschnitt bis zum ersten Mal drei 6er hintereinander fallen? |
Hallo ihr Lieben :) ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich leider nicht weiter komme und hoffe, dass ihr mir vielleicht ein, zwei Tipps geben könnt, damit ich einen Ansatz finde.
Also in dem Fall müsste ich ja 7 Zustände haben, wobei der erste 0 ist indem ich dann auch starte, da ich hier noch nicht gewürfelt habe. Also M=(0,1,2,3,4,5,6). Der Start liegt dann wie gesagt beim Zustand 0. Die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu bekommen an sich ist ja 1/6.
Nun brauche ich halt die durchschnittliche Wartezeit bis zur dritten sechs. Bei uns nennt sich das das Eintrittzeitlemma. Allerdings weiß ich nicht wie ich das hier am besten anwenden soll. Vielleicht könnte mir da einer weiter helfen, wie ich dies am besten angehe.
So habe ich gedacht wenn ich die erste sechs habe, dann ist die Wartezeit vom Zustand der ersten sechs bis zur nächsten ja 1, oder? Aber ich weiß halt nicht wie genau ich dies berechnen kann.
Liebe Grüße
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Hiho,
> Also in dem Fall müsste ich ja 7 Zustände haben
nein. Wie kommst du darauf?
Du hast die drei Zustände, der aktuell hintereinander gewürfelten Sechsen, nämlich (0,1,2,3), wobei die 3 ein Endzustand ist, den es zu erreichen gilt.
Nun überleg dir mal deine Übergangswahrscheinlichkeiten.
Gruß,
Gono.
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Danke erstmal :)
Hmh ok, wir hatten eine ähnliche Aufgabe gemacht und ich habe mich an dieser orientiert. Da ich rein logisch eigentlich auch dachte, dass es ja nicht in der Aufgabenstellung darum geht, dass ich sofort eine sechs nach der anderen habe, sondern wann im Durchschnitt 3 Sechsen hintereinander kommen und da dachte ich eben, dass ich dann ja mehrfach, die anderen Zahlen vorher durchlaufe bis ich zu den 3 sechsen komme. So wäre ja die Wahrscheinlichkeit einer jeder Sechs doch 1/6, aber dadurch verwirrt mich dies mit den 3 Zuständen irgendwie noch mehr. Wie bedenke ich denn dabei den Raum vor der ersten 6?
Edit:
Habe jetzt nochmal etwas probiert: Also wenn ich die Zustände wie du sagst M=(0,1,2,3) setze, dann ist Zustand 3 der mit 3 Sechsen und wenn ich nach der ersten 6 eine andere Zahl würfeln würde, dann würde ich ja einfach in den Zustand 0 also keine 6 zurück fallen ja?
Ok dann wäre p(3,3)=1, weil wir danach keine 6 mehr benötigen bzw. sie uns nicht interessiert. p(n,n+1)=1/6 und p(n,0)=5/6. Die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu bekommen ist also 1/6 und zurück zu fallen auf Zustand ist immer mit der Wahrscheinlichkeit 5/6 belegt., außer aus Zustand 3 da gibt es kein ENtkommen mehr :D
dann wäre [mm] h(n)=Erwartungswert(T^{E}_{3}) [/mm] und h(3)=0.
Dann müsste doch h(n)=1+1/6h(0)+1/6h(n+1) für [mm] 0\le [/mm] n<3 sein oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Fr 07.02.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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