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| Aufgabe | 1. Mantel von Rotationskörpern
Der Graph der Funktion f rotiere um die 1. Achse.Dadurch entsteht ein Rotationskörper. Dann gilt:
Satz 3
Ist die Ableitung f' der Funktion f im Intervall [a;b] stetig, so gilt für die Größe M des Mantels des Rotationskörpers über dem Intervall [a;b]:
[mm] $M=2\pi\int_{a}^{b}f(x)*\sqrt{1+(f'(x))^2}\,\,dx$
[/mm]
Zeige die Gültigkeit der Formel für die Größe des Mantels. Gehe dabei ähnlich vor wie bei der Herleitung der Formel für die Bogenlänge.
Beachte, dass bei der Rotation der Sehnen um die 1. Achse Kegelstümpfe entstehen. Verwendet werden muss auch die Formel
[mm] $M=\pi*(r_1+r_2)*s$
[/mm]
für die Größe des Mantels eines Kegelstumpfes.
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Hallo,
ich komme mit der Aufgabe nicht ganz zu recht.
Versucht habe ich:
[mm] $\Delta M_0=\pi*(f(x_0)+f(x_1))*\Delta [/mm] s$
[mm] $\Delta M_1=\pi*(f(x_1)+f(x_2))*\Delta [/mm] s$
[mm] $\Delta M_2=\pi*(f(x_2)+f(x_3))*\Delta [/mm] s$
etc.
[mm] $\int dM=\pi*\left(f(x_0)+2*f(x_1)+2*f(x_2)+...+2*f(x_{n-1})+f(x_n)\right)*ds$
[/mm]
mit [mm] $ds=\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx$
[/mm]
Herauskommen soll ja:
[mm] $M=2*\pi*\int f(x)*\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx [/mm] $
- aber dazu fehlt mir zweimal der Faktor 2: bei [mm] f(x_0) [/mm] und [mm] f(x_n).
[/mm]
Könnte mir jemand vielleicht einen Hinweis geben?
Vielen Dank,
Martinius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Di 24.08.2010 | | Autor: | abakus |
> 1. Mantel von Rotationskörpern
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> Der Graph der Funktion f rotiere um die 1. Achse.Dadurch
> entsteht ein Rotationskörper. Dann gilt:
>
> Satz 3
> Ist die Ableitung f' der Funktion f im Intervall [a;b]
> stetig, so gilt für die Größe M des Mantels des
> Rotationskörpers über dem Intervall [a;b]:
>
> [mm]M=2\pi\int_{a}^{b}f(x)*\sqrt{1+(f'(x))^2}\,\,dx[/mm]
>
>
> Zeige die Gültigkeit der Formel für die Größe des
> Mantels. Gehe dabei ähnlich vor wie bei der Herleitung der
> Formel für die Bogenlänge.
>
> Beachte, dass bei der Rotation der Sehnen um die 1. Achse
> Kegelstümpfe entstehen. Verwendet werden muss auch die
> Formel
>
> [mm]M=\pi*(r_1+r_2)*s[/mm]
>
> für die Größe des Mantels eines Kegelstumpfes.
>
> Hallo,
>
> ich komme mit der Aufgabe nicht ganz zu recht.
>
> Versucht habe ich:
>
> [mm]\Delta M_0=\pi*(f(x_0)+f(x_1))*\Delta s[/mm]
>
> [mm]\Delta M_1=\pi*(f(x_1)+f(x_2))*\Delta s[/mm]
>
> [mm]\Delta M_2=\pi*(f(x_2)+f(x_3))*\Delta s[/mm]
>
> etc.
>
> [mm]\int dM=\pi*\left(f(x_0)+2*f(x_1)+2*f(x_2)+...+2*f(x_{n-1})+f(x_n)\right)*ds[/mm]
>
> mit [mm]ds=\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx[/mm]
>
> Herauskommen soll ja:
>
> [mm]M=2*\pi*\int f(x)*\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx[/mm]
>
> - aber dazu fehlt mir zweimal der Faktor 2: bei [mm]f(x_0)[/mm] und
> [mm]f(x_n).[/mm]
>
> Könnte mir jemand vielleicht einen Hinweis geben?
Dann gib die fehlenden beiden Faktoren einfach dazu (damit du aus der Formel den Faktor 2 rausziehen kannst) und ziehe sie dahinter wieder ab.
Da [mm] \Delta [/mm] s geben Null geht, kannst du dann [mm] (f(x_0)+f(x_n))*\Delta [/mm] s vernachlässigen.
Gruß Abakus
>
> Vielen Dank,
>
> Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Mi 25.08.2010 | | Autor: | Martinius |
Hallo abakus,
besten Dank für die Antwort.
LG, Martinius
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