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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:38 Di 09.12.2008 | | Autor: | magir |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Mantelfächen der Körper, die durch Drehung der
jeweiligen Kurven um die angegebene Achse entstehen:
[mm] x^2/6+y^2/4=1 [/mm] Drehung um die x-Achse |
Meine bisherige Lösung:
Nullstellen: (y=0)
[mm] x^2=^6 [/mm] <=> [mm] x=\pm [/mm] 4
Die Formel zur Bestimmung der Mantelfäche lautet:
A = [mm] 2\pi \integral_{a}^{b}{f(x)\wurzel{1+f'(x)^2} dx}
[/mm]
Mit f(x) = [mm] \wurzel{4-x^2/4} [/mm] wird f'(x) = [mm] -x/2\wurzel{16-x^2}
[/mm]
Eingesetzt in die Formel zur Bestimmung der Mantelfläche ergibt sich somit:
A = [mm] 2\pi \integral_{-4}^{4}{\wurzel{4-x^2/4}\wurzel{1+\bruch{x^2}{4(16-x^2)}}dx}
[/mm]
Die Ausdrücke unter den Wurzeln lassen sich unter eine Wurzel ziehen und nach kürzen und Zusammenfassen wird der Ausdruck zu:
A = [mm] 2\pi \integral_{-4}^{4}{\wurzel{4-3x^2/16}dx}
[/mm]
Ist die Lösung so weit richtig?
Wie wird das Integral gelöst? Der Fall [mm] \wurzel{a^2-x^2} [/mm] lässt sich laut Papula mit folgender Substitution lösen:
x=a*sin(u)
dx = a*cos(u)du
[mm] \wurzel{a^2-x^2} [/mm] = a cos(u)
Bei der oben stehenden Wurzel steht aber noch ein konstanter Faktor vor dem [mm] x^2.
[/mm]
Man könnte an dieser Stelle zunächst 1/16 ausklammern und aus konstanten Faktor vor das Integral ziehen:
A = [mm] \pi/2 \integral_{-4}^{4}{\wurzel{64-3x^2}dx}
[/mm]
Nun klammert man noch 3 aus und zieht es vor das Integral:
A = [mm] \pi\wurzel{3}/2 \integral_{-4}^{4}{\wurzel{21\bruch{1}{3}-x^2}dx}
[/mm]
im folgenden wird nur das Integral betrachtet.
Nun wird das ganze aber etwas ungemütlich, weil:
[mm] a^2=21\bruch{1}{3}
[/mm]
=>
[mm] \wurzel{21\bruch{1}{3}}cos(u)\wurzel{(21\bruch{1}{3}}cos(u)du
[/mm]
= [mm] 21\bruch{1}{3}cos^2(u)du
[/mm]
= [mm] 21\bruch{1}{3}\bruch{sin(u)cos(u)}{2}+\bruch{u}{2}
[/mm]
Mit [mm] u=arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}})
[/mm]
=>
[mm] 21\bruch{1}{3}\bruch{sin(arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}}))cos(arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}}))}{2}+\bruch{arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}})}{2}
[/mm]
[mm] =21\bruch{1}{3}\bruch{\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}}cos(arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}}))}{2}+\bruch{arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}})}{2}
[/mm]
Stimmt das Ganze so weit?
Das cos(arcsin(x/..)) lässt sich irgendwie nicht wirklich vereinfachen, oder?
Also einfach die Integrationsgrenzen rein und fertig?
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen,
magir
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Hallo magir,
> Bestimmen Sie die Mantelfächen der Körper, die durch
> Drehung der
> jeweiligen Kurven um die angegebene Achse entstehen:
>
> [mm]x^2/6+y^2/4=1[/mm] Drehung um die x-Achse
> Meine bisherige Lösung:
>
> Nullstellen: (y=0)
> [mm]x^2=^6[/mm] <=> [mm]x=\pm[/mm] 4
Die Funktion, von der Du die Nullstellen, bestimmen mußt,
ist doch implizit gegeben durch:
[mm]\blue{\bruch{1}{6}x^{2}+\bruch{1}{4}y^{2}=1}[/mm]
>
> Die Formel zur Bestimmung der Mantelfäche lautet:
>
> A = [mm]2\pi \integral_{a}^{b}{f(x)\wurzel{1+f'(x)^2} dx}[/mm]
>
> Mit f(x) = [mm]\wurzel{4-x^2/4}[/mm] wird f'(x) =
> [mm]-x/2\wurzel{16-x^2}[/mm]
>
> Eingesetzt in die Formel zur Bestimmung der Mantelfläche
> ergibt sich somit:
> A = [mm]2\pi \integral_{-4}^{4}{\wurzel{4-x^2/4}\wurzel{1+\bruch{x^2}{4(16-x^2)}}dx}[/mm]
>
> Die Ausdrücke unter den Wurzeln lassen sich unter eine
> Wurzel ziehen und nach kürzen und Zusammenfassen wird der
> Ausdruck zu:
>
> A = [mm]2\pi \integral_{-4}^{4}{\wurzel{4-3x^2/16}dx}[/mm]
>
> Ist die Lösung so weit richtig?
>
> Wie wird das Integral gelöst? Der Fall [mm]\wurzel{a^2-x^2}[/mm]
> lässt sich laut Papula mit folgender Substitution lösen:
> x=a*sin(u)
> dx = a*cos(u)du
> [mm]\wurzel{a^2-x^2}[/mm] = a cos(u)
>
> Bei der oben stehenden Wurzel steht aber noch ein
> konstanter Faktor vor dem [mm]x^2.[/mm]
> Man könnte an dieser Stelle zunächst 1/16 ausklammern und
> aus konstanten Faktor vor das Integral ziehen:
> A = [mm]\pi/2 \integral_{-4}^{4}{\wurzel{64-3x^2}dx}[/mm]
> Nun
> klammert man noch 3 aus und zieht es vor das Integral:
> A = [mm]\pi\wurzel{3}/2 \integral_{-4}^{4}{\wurzel{21\bruch{1}{3}-x^2}dx}[/mm]
>
> im folgenden wird nur das Integral betrachtet.
> Nun wird das ganze aber etwas ungemütlich, weil:
> [mm]a^2=21\bruch{1}{3}[/mm]
> =>
>
> [mm]\wurzel{21\bruch{1}{3}}cos(u)\wurzel{(21\bruch{1}{3}}cos(u)du[/mm]
> = [mm]21\bruch{1}{3}cos^2(u)du[/mm]
> = [mm]21\bruch{1}{3}\bruch{sin(u)cos(u)}{2}+\bruch{u}{2}[/mm]
>
> Mit [mm]u=arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}})[/mm]
> =>
>
> [mm]21\bruch{1}{3}\bruch{sin(arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}}))cos(arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}}))}{2}+\bruch{arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}})}{2}[/mm]
>
> [mm]=21\bruch{1}{3}\bruch{\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}}cos(arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}}))}{2}+\bruch{arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}})}{2}[/mm]
>
> Stimmt das Ganze so weit?
> Das cos(arcsin(x/..)) lässt sich irgendwie nicht wirklich
> vereinfachen, oder?
> Also einfach die Integrationsgrenzen rein und fertig?
>
> Über Hilfe würde ich mich sehr freuen,
> magir
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Di 09.12.2008 | | Autor: | magir |
Da hat sich ein Tippfehler in der Aufgabenstellung eingeschlichen. Es muss [mm] x^2/16+y^2/4=1 [/mm] heißen.
Damit sollten dann auch wieder meine Nullstellen passen und die restliche Antwort/Fragestellung Sinn machen.
Gruß,
Magnus
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Hallo magir,
> Da hat sich ein Tippfehler in der Aufgabenstellung
> eingeschlichen. Es muss [mm]x^2/16+y^2/4=1[/mm] heißen.
>
> Damit sollten dann auch wieder meine Nullstellen passen und
> die restliche Antwort/Fragestellung Sinn machen.
Ja, das stimmt alles bis zur Bestimmung der Stammfunktion.
Nach Deinem Post ist das die hier:
[mm] =21\bruch{1}{3}\bruch{\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}}cos(arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}}))}{2}+\bruch{arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}})}{2} [/mm]
Korrekt muß diese aber lauten:
[mm] =\red{\wurzel{3}} \ 21\bruch{1}{3}\red{\left(} \ \bruch{\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}}cos(arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}}))}{2}+\bruch{arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}})}{2} \ \red{\right)}[/mm]
[mm]\cos\left( \ \arcsin\left(\ \bruch{x}{\wurzel{21 \bruch{1}{3} \ }\ \right) \ \right)[/mm] kann man noch etwas anders ausdrücken.
Dann die Grenzen einsetzen, ausrechnen und fertig.
>
> Gruß,
> Magnus
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Di 09.12.2008 | | Autor: | magir |
Danke für die Korrektur. :)
Die [mm] \wurzel{3} [/mm] hatte ich ja bereits im ersten Schritt vor das Integral gezogen, die Klammer habe ich aber wirklich übersehen.
Nochmal zum Nachvollziehen:
[mm] \integral{}^{}{\wurzel{21\bruch{1}{3}-x^2}dx} [/mm] wird dann zu:
[mm] 21\bruch{1}{3}(\bruch{\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}}cos(arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}}))}{2}+\bruch{arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}})}{2})
[/mm]
Richtig?
Die Vereinfachung für cos(arcsin(x)) ist [mm] \wurzel{1-sin^2(arcsin(x))}=\wurzel{1-x^2}
[/mm]
In diesem Fall wird dann aus:
[mm] cos(arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}})),
[/mm]
[mm] \wurzel{1-\bruch{x^2}{(21\bruch{1}{3})}}
[/mm]
Stimmt das so?
Also wird das oben stehende Integral zu:
[mm] 21\bruch{1}{3}(\bruch{\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}}\wurzel{1-\bruch{x^2}{(21\bruch{1}{3})}}))}{2}+\bruch{arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}})}{2})
[/mm]
und somit die Fläche zu:
[mm] \bruch{\pi\wurzel{3}}{2}*21\bruch{1}{3}(\bruch{\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}}\wurzel{1-\bruch{x^2}{(21\bruch{1}{3})}}))}{2}+\bruch{arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}})}{2})
[/mm]
Ich hoffe das passt nun so und würde mich über eine finale Korrektur sehr freuen.
Gruß,
magir
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Hallo magir,
> Danke für die Korrektur. :)
>
> Die [mm]\wurzel{3}[/mm] hatte ich ja bereits im ersten Schritt vor
> das Integral gezogen, die Klammer habe ich aber wirklich
> übersehen.
>
> Nochmal zum Nachvollziehen:
> [mm]\integral{}^{}{\wurzel{21\bruch{1}{3}-x^2}dx}[/mm] wird dann
> zu:
>
> [mm]21\bruch{1}{3}(\bruch{\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}}cos(arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}}))}{2}+\bruch{arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}})}{2})[/mm]
>
> Richtig?
>
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die Vereinfachung für cos(arcsin(x)) ist
> [mm]\wurzel{1-sin^2(arcsin(x))}=\wurzel{1-x^2}[/mm]
> In diesem Fall wird dann aus:
> [mm]cos(arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}})),[/mm]
> [mm]\wurzel{1-\bruch{x^2}{(21\bruch{1}{3})}}[/mm]
> Stimmt das so?
Auch das stimmt.
>
> Also wird das oben stehende Integral zu:
>
> [mm]21\bruch{1}{3}(\bruch{\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}}\wurzel{1-\bruch{x^2}{(21\bruch{1}{3})}}))}{2}+\bruch{arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}})}{2})[/mm]
>
> und somit die Fläche zu:
>
> [mm]\bruch{\pi\wurzel{3}}{2}*21\bruch{1}{3}(\bruch{\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}}\wurzel{1-\bruch{x^2}{(21\bruch{1}{3})}}))}{2}+\bruch{arcsin(\bruch{x}{\wurzel{21\bruch{1}{3}}})}{2})[/mm]
Muß da statt des [mm]\pi[/mm] nicht [mm]2\pi[/mm] stehen?
>
> Ich hoffe das passt nun so und würde mich über eine finale
> Korrektur sehr freuen.
>
> Gruß,
> magir
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Di 09.12.2008 | | Autor: | magir |
Ich hatte bereits am Anfang 1/16 in der Wurzel ausgeklammert und vor das Integral gezogen. Damit wurde dann aus [mm] 2\pi [/mm] = [mm] \pi/2.
[/mm]
Danke für deine Hilfe,
magir
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