Man zeige ... und berechne F' < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Mo 21.05.2007 | | Autor: | peter_d |
| Aufgabe | [mm] $\text{Es seien } f\in C\left([a,b], \mathbb{R}\right) \text{ und } [/mm] g,\ [mm] h:=\in C^1\left([\alpha,\beta],[a,b]\right)\text{ . Ferner sei}$
[/mm]
[mm] $F:=[\alpha,beta]\to\mathbb{R}\text{\quad def. durch\quad} F(x):=\int_{g(x)}^{h(x)} [/mm] f(t) dt\ .$
[mm] $\text{Man zeige, dass } F\in C^1\left([\alpha,\beta], \mathbb{R}\right)\text{ und berechne } [/mm] F'\ .$ |
n'abend
Irgendwie steig ich durch diese Aufgabe nicht durch.
Kann mir einer bitte erklären bzw. einen Tipp geben was ich machen muss (bitte nicht sagen, es stehe in der Aufgabe, dann hätt ich nicht gefragt :)) bzw. wie ich vorgehen muss?
Danke und Gruß
Peter
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> [mm]\text{Es seien } f\in C\left([a,b], \mathbb{R}\right) \text{ und } g,\ h:=\in C^1\left([\alpha,\beta],[a,b]\right)\text{ . Ferner sei}[/mm]
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> [mm]F:=[\alpha,beta]\to\mathbb{R}\text{\quad def. durch\quad} F(x):=\int_{g(x)}^{h(x)} f(t) dt\ .[/mm]
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> [mm]\text{Man zeige, dass } F\in C^1\left([\alpha,\beta], \mathbb{R}\right)\text{ und berechne } F'\ .[/mm]
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Hallo,
Du hast eine Funktion F, welche durch ein Integral erklärt ist.
Von dieser Funktion F sollst Du Eigenschaften herausfinden, bzw. sie beweisen.
Wenn jetzt im Integral irgendeine konkrete Funktion stünde, würde man vermutlich erstmal munter drauflosintegrieren.
So geht's hier nicht.
Wir haben f im Integral.
Über diese Funktion wissen wir, daß sie stetig ist [mm] ("f\in C\left([a,b], \mathbb{R}\right)").
[/mm]
Über stetige Funktionen von einem Intervall nach [mm] \IR [/mm] haben wir gelernt: sie haben eine Stammfunktion.
Also hat f eine Stammfunktion. Wir nennen sie G.
Was ist eine Stammfunktion von f? Eine diffbare Funktion mit G'=f.
So, wenn nun G unsere Stammfunktion ist, wie können wir dann das Integral, also F(x), schreiben?
Was sagt uns das?
Nun leite die Funktion auf beiden Seiten nach x ab. Kettenregel nicht vergessen und dran denken, daß G'=f ist.
Gruß v. Angela
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