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| Aufgabe | | Integrieren Sie [mm]\int{\sin^2(\pi*z) dz}[/mm]! |
[mm]= \int{\sin(\pi*z) * \sin(\pi*z) dz}[/mm]
[mm]= \sin(\pi*z)*(-\frac{1}{\pi}*\cos(\pi*z)) - \int{\cos(\pi*z)*\pi * (-\frac{1}{\pi}*\cos(\pi*z)) dz}[/mm]
[mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\frac{1}{\pi}*\cos^2(\pi * z) * \pi dz}[/mm]
[mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\cos^2(\pi * z) dz}[/mm]
[mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\cos(\pi * z) \cos(\pi * z) dz}[/mm]
[mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \cos(\pi*z) * \frac{1}{\pi} * \sin(\pi * z) - \int{\sin^2(\pi*z) dz}[/mm]
[mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz} = -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \frac{1}{\pi} * \sin(\pi*z) * \cos(\pi * z)[/mm]
[mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz} = 0[/mm]
... ich denke mal das ich da irgendwo einen (schweren) Fehler bei der Integration gemacht habe. Leider sehe ich diesen - wie so oft - nicht. Kann mir einer von euch vielleicht einen kleinen Tipp geben? Aber die partielle Integration zu verwenden ist doch der richtige Ansatz, oder? Vielen Dank im Voraus.
Viele Grüße,
NichtExistent
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Hallo!
> Integrieren Sie [mm]\int{\sin^2(\pi*z) dz}[/mm]!
> [mm]= \int{\sin(\pi*z) * \sin(\pi*z) dz}[/mm]
>
> [mm]= \sin(\pi*z)*(-\frac{1}{\pi}*\cos(\pi*z)) - \int{\cos(\pi*z)*\pi * (-\frac{1}{\pi}*\cos(\pi*z)) dz}[/mm]
>
> [mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\frac{1}{\pi}*\cos^2(\pi * z) * \pi dz}[/mm]
>
> [mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\cos^2(\pi * z) dz}[/mm]
Genau hier anhalten, auf beiden Seiten der Partiellen-Integrations-Gleichung
[mm]\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \int{\cos^2(\pi * z) dz}[/mm]
die du berechnet hast, den Term
[mm]\int{\sin^2(\pi*z) dz}[/mm]
addieren und die rechte Seite nach diesem Addieren STARK vereinfachen.
> Aber die partielle
> Integration zu verwenden ist doch der richtige Ansatz,
> oder?
Ja!
Stefan.
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Hey Stefan,
vielen Dank für deinen schnellen Hinweis. Ist das nun so gemachte nun korrekt?
[mm]= \int{\sin(\pi*z) * \sin(\pi*z) dz}[/mm]
[mm]= \sin(\pi*z)*(-\frac{1}{\pi}*\cos(\pi*z)) - \int{\cos(\pi*z)*\pi * (-\frac{1}{\pi}*\cos(\pi*z)) dz}[/mm]
[mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\frac{1}{\pi}*\cos^2(\pi * z) * \pi dz}[/mm]
[mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\cos^2(\pi * z)
dz}[/mm]
[mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \int{\cos^2(\pi * z) dz}[/mm]
[mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \int{\cos^2(\pi * z) dz} + \int{\sin^2(\pi * z) dz}[/mm]
[mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \int{\cos^2(\pi * z) + \sin^2(\pi * z) dz}[/mm]
[mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \int{1 dz}[/mm]
[mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + z[/mm]
[mm]\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + z}{2*\pi}[/mm]
Viele Grüße,
NichtExistent
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Hey schachuzipus,
autsch. Natürlich. Das passiert wenn man das nur noch schnell fertig machen und dann abschalten möchte. Hast natürlich recht :) Und danke für den anderen "Trick" :)
Liebe Grüße,
NE
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