Majorantenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Di 25.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Sei [mm] \summe_{n=0}^{\infty }c_{n} [/mm] eine konvergente Reihe reeller Zahlen.
[mm] s_{n}:=\summe_{k=n+1}^{\infty}c_{k} [/mm] für [mm] n\ge-1.
[/mm]
Es gilt [mm] s_{n}-s_{n-1}=-c_{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN, [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}s_{n}=0.
[/mm]
Mir ist folgendes nicht klar :
Da die Folge der [mm] s_{n} [/mm] beschränkt ist, konvergiert nach dem Majoranten-Kriterium die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}s_{n}x^{n} [/mm] für |x|<1.
Was kommt als Majorante in Frage? Ich sehe nicht so viele Möglichkeiten, deshalb denke ich, dass [mm] \summe_{n=0}^{\infty}s_{n} [/mm] eine Majorante ist.
Wenn ja, dann muss [mm] s_{n} [/mm] nichtnegativ für fast alle n [mm] \in \IN [/mm] sein.Ist es so?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Di 25.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass [mm] s_n [/mm] beschränkt ist also für alle n [mm] s_n
aber du kannst die summe abschätzen durch [mm]\summe_{n=1}^{\infty} s_nx^n \le \summe_{n=1}^{\infty} S*x^n =S*\summe_{n=1}^{\infty} x^n [/mm] und hast S*die geom. Reihe als Majorante. (die ist die meist verwendete Majorante!)
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:29 Mi 26.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Leduarts Antwort gefällt mir nicht, denn beim Majorantenkriterium braucht man immer (!) Beträge.
Dass [mm] (s_n) [/mm] beschränkt ist bedeutet: es gibt ein c [mm] \ge [/mm] 0 mit: [mm] |s_n| \le [/mm] c für jedes n.
Damit ist
[mm] |s_nx^n| \le c|x|^n [/mm] für jedes n.
Da für |x|<1 die Reihe [mm] \sum c|x|^n [/mm] konvergiert, folgt mit dem Maj.-Krit.:
[mm] \sum s_nx^n [/mm] konv. für |x|<1 absolut.
FRED
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