Majoranten finden < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Fr 01.04.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | [mm] F(t):=\integral_0^{\infty} \bruch{e^{-x}-e^{-tx}}{x} [/mm] dx
Kann man dieses Integral unter dem Integral differenzieren? |
1.) Die Funktion unterm Integral ist stetig und stetig nach t differenzierbar, wobei [mm] e^{-tx} [/mm] die partielle Ableitung nach t ist.
2.) Meiner Ansicht nach ist [mm] e^{-x} [/mm] Majorante von der Funktion unterm Integral und der partiellen Ableitung nach t.
3.) Die uneigentlichen Integrale (von 0 bis unendlich) von [mm] e^{-x} [/mm] konvergiert.
Daher sind m.E. alle Voraussetzungen erfüllt, die für ein uneigentliches Parameterintegral gelten müssen und man darf unterm Integral differenzieren.
Stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:38 Fr 01.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> 2.) Meiner Ansicht nach ist $ [mm] e^{-x} [/mm] $ Majorante von der Funktion unterm Integral und der partiellen Ableitung nach t.
Das ist keine Begründung, sondern das Prinzip Hoffnung. =)
Wie kommst Du darauf?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Sa 02.04.2011 | | Autor: | dennis2 |
> > 2.) Meiner Ansicht nach ist [mm]e^{-x}[/mm] Majorante von der
> Funktion unterm Integral und der partiellen Ableitung nach
> t.
>
> Das ist keine Begründung, sondern das Prinzip Hoffnung.
> =)
>
> Wie kommst Du darauf?
Hm, wie komme ich darauf:
[mm] |\bruch{e^{-x}-e^{-tx}}{x}|=\bruch{|e^{-x}-e^{-tx}|}{|x|}\leq |e^{-x}-e^{-tx}|\leq e^{-x} [/mm]
und
[mm] |e^{-tx}|\leq e^{-x}
[/mm]
[Oder nicht?]
Ganz sicher bin ich mir nicht.
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Huhu,
> [mm] $\bruch{e^{-x}-e^{-tx}}{x}|=\bruch{|e^{-x}-e^{-tx}|}{|x|}$
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und jetzt hörts leider auf mit dem korrekten Umformen...
[mm] $\leq |e^{-x}-e^{-tx}|$
[/mm]
Warum? x kommt doch aus dem Intervall [mm] $(0,\infty)$ [/mm] und damit ist bspw. auch $x = [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] möglich und dafür stimmt die Umformung offensichtlich nicht.
[mm] $\le e^{-x}$
[/mm]
Auch hier ist was falsch: Es würde stimmen, wenn vorher kein Betrag stehen würde. Tut es aber, d.h. die Abschätzung stimmt für [mm] $e^{-tx} [/mm] >> [mm] e^{-x}$ [/mm] nicht mehr (also bspw. wenn x sehr groß und $t=-1$).
> [mm]|e^{-tx}|\leq e^{-x}[/mm]
t ist doch beliebig, also auch hier nimm [mm] $t=\bruch{1}{2}$ [/mm] (bedenke weiterhin [mm] $x\in (0,\infty)$ [/mm] und schon gehts kaputt.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Sa 02.04.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Okay, das ging also schief.
Gibt es denn jeweils eine Majorante zu finden? |
Ich komme an dieser Stelle nun nicht weiter.
Wer kann mir helfen Majoranten zu finden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Sa 02.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
Majorante nicht, aber wenn Du für die Ableitung mal die Definition (Grenzwert des Differenzenquotients) einsetzt, dann hilft der Satz von der monotonen Konvergenz, denk ich.
ciao
Stefan
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:53 Sa 02.04.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Es muss aber etwas mit Parameterintegralen zu tun haben, denn diese Aufgabe hatte als Hinweis:
Differenzieren sie unter dem Integral.
Und daher wollte ich mal überprüfen, warum man das überhaupt darf. Es muss also um Parameterintegrale gehen. Und zwar um uneigentliche Parameterintegrale. |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 04.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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