Magnetoquasistatik < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Mi 13.07.2011 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | In ein homogenes Medium wird eine Ladung [mm] Q_{0} [/mm] eingebracht. Das Medium besitze die Leitfähigkeit [mm] \kappa=1*10^{-12}\bruch{S}{m}, [/mm] die Permeabilität [mm] \mu=1*10^{-6}\bruch{H}{m} [/mm] und die Permittivität [mm] \epsilon=1*10^{-10}\bruch{F}{m}. [/mm] Nach welcher Zeit ist die Ladung an der Stelle, an der [mm] Q_{0} [/mm] einbebracht worden war, um [mm] \bruch{1}{e} [/mm] abgefallen? (Anmerkung: Die Werte entsprechen größenordnungsmäßig denen von [mm] Al_{2}O_{3}.)
[/mm]
1) Ungefähr 100 Mikrosekunden.
2) Ungefähr 100 Sekunden.
3) Ungefähr 10 Millisekunden.
4) Ungefähr drei Stunden (d.h. etwa 10000 Sekunden). |
Hallo zusammen!
Bezüglich dieser Aufgabe finde ich leider keinen Ansatz. An der möglicherweise relevanten Stelle im Skript erhalte ich die Informationen:
1.) An der Stelle [mm] \delta=\bruch{1}{k} [/mm] ist die Feldamplitude auf 37% [mm] (\approx{exp(-1))} [/mm] des Randwertes abgefallen.
2.) Diese Entfernung wird als "äquivalente Leitschichtdicke" [mm] \delta [/mm] bezeichnet: [mm] \delta=\wurzel{\bruch{2}{\omega\mu\kappa}}
[/mm]
Mein Lösungsansatz:
Nun ja, zur Berechnung einer Zeit könnte ich vielleicht die Formel der Leitschichtdicke zu [mm] s=\pi\kappa\mu\delta^{2} [/mm] umstellen. Welchen Wert muss ich dann aber für [mm] \delta [/mm] einsetzen? Brauche ich dazu möglicherweise das elektrische Feld einer Punktladung?
Über einen hilfreichen Tipp würde ich mich freuen; vielen Dank!
Viele Grüße, Marcel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Mi 13.07.2011 | | Autor: | isi1 |
sagen wir, die Ladung ist kugelförmig im homogenen Medium, dann ist
die Kapazität $ [mm] C=4\pi\epsilon [/mm] r $ und
der Leitwert $ [mm] G=4\pi\kappa [/mm] r $ sowie
die Zeitkonstante $ [mm] \tau=\frac{C}{G}=\frac{\epsilon}{\kappa}=100s [/mm] $
das Magnetfeld wird wohl kaum eine Rolle spielen bei der geringen Leitfähigkeit.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Mi 13.07.2011 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
Vielen Dank erst einmal.
> sagen wir, die Ladung ist kugelförmig im homogenen Medium,
> dann ist
>
> die Kapazität [mm]C=4\pi\epsilon r[/mm] und
> der Leitwert [mm]G=4\pi\kappa r[/mm] sowie
> die Zeitkonstante
> [mm]\tau=\frac{C}{G}=\frac{\epsilon}{\kappa}=10ms[/mm]
>
> das Magnetfeld wird wohl kaum eine Rolle spielen bei der
> geringen Leitfähigkeit.
Doch, ich denke schon. Es handelt sich hier um ein Problem der Magnetoquasistatik. Als quasistatische Näherung haben wir [mm] \vec{J}>>j\omega\vec{D}, [/mm] bzw. [mm] \omega_{max}\epsilon<<\kappa [/mm] angenommen. Laut Musterlösung soll Antwort 2) "Ungefähr 100 Sekunden" richtig sein. Das Magnetfeld vernachlässigen wird nur bei Problemen im Bereich der Elektroquasistatik.
Viele Grüße, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Mi 13.07.2011 | | Autor: | isi1 |
Hatte einen Schreibfehler: $ [mm] \frac{\epsilon}{\kappa}=100s [/mm] $ ohne Magnetfeld
Ist es nicht so, dass das $ [mm] i_d=\frac{dD}{dt}$ [/mm] gerade das [mm] $i_{\kappa} [/mm] = [mm] \kappa\cdot [/mm] E(t) aufhebt?
Zeig doch bitte mal die Berechnung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 Mi 13.07.2011 | | Autor: | Marcel08 |
> Hatte einen Schreibfehler: [mm]\frac{\epsilon}{\kappa}=100s[/mm]
> ohne Magnetfeld
>
> Ist es nicht so, dass das $ [mm]i_d=\frac{dD}{dt}$[/mm] gerade das
> [mm]$i_{\kappa}[/mm] = [mm]\kappa\cdot[/mm] E(t) aufhebt?
Wie meinst du das?
> Zeig doch bitte mal die Berechnung.
Da kann ich leider nicht mit dienen. Das ist wieder so eine komische Multiple Choice Aufgabe ohne irgendwelche Erklärungen.
Viele Grüße, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Do 14.07.2011 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
Aufgrund deiner Bitte nach einer Rechnung habe ich nochmal voller Motivation das Skript gewälzt und muss sagen, dass du vollkommen Recht hattest. Ich weiteren Verlauf versuche ich jetzt mal, eine möglichst verständliche Herleitung des Sachverhaltes zu erstellen. Bei der Aufgabe handelt es sich um einen sogenannten Relaxationsvorgang in einem homogenen leitfähigen Gebiet, insofern also in der Tat um ein Problem der Elektroquasistatik und nicht etwa, wie von mir fälschlicherweise angenommen, um eines des Magnetoquasistatik.
Für den Fall, dass das durch das sekundäre Magnetfeld induzierte elektrische Feld sehr viel kleiner ist als das primäre elektrische Feld, lautet das EQS-System der Maxwellschen Gleichungen:
[mm] rot\vec{E}(\vec{r},t)=0 [/mm] mit [mm] \bruch{\partial}{\partial{t}}\vec{B}=0
[/mm]
[mm] rot\vec{H}(\vec{r},t)=\bruch{\partial}{\partial{t}}\vec{D}(\vec{r},t)+\vec{J}(\vec{r},t)
[/mm]
[mm] div\vec{B}(\vec{r},t)=0
[/mm]
[mm] div\vec{D}(\vec{r},t)=\rho(\vec{r},t)
[/mm]
Unter Anwendung der vektoralgebraischen Nullidentität [mm] div{rot}\vec{A}=0 [/mm] erhält man aus dem Durchflutungsgesetz die Kontinuitätagleichung zu
[mm] div\vec{J}=div\kappa\vec{E}=div\bruch{\kappa}{\epsilon}\vec{D}=\bruch{\kappa}{\epsilon}\rho
[/mm]
Mit [mm] \tau_{e}=\bruch{\epsilon}{\kappa} [/mm] ergibt sich daraus dann die sogenannte Relaxationsgleichung für Ladungen
[mm] \bruch{\rho(\vec{r},t)}{\tau_{e}}+\rho'(\vec{r},t)=0
[/mm]
deren Lösung sich zu
(1) [mm] \rho(\vec{r},t)=\rho(\vec{r},t_{0})e^{-\bruch{t}{\tau_{e}}}
[/mm]
ergibt. Daraus folgt, dass eine anfängliche Ladungsverteilung [mm] \rho(\vec{r},t) [/mm] im Inneren eines homogenen leitfähigen Gebietes immer exponentiell mit der Relaxationskonstanten [mm] \tau_{e} [/mm] abnimmt. Homogene leitfähige Gebiete können daher im Innern nahezu immer als ladungsfrei angenommen werden.
Die Lösung der ursprünglichen Aufgabe dieses Threads wird also unter Zuhilfenahme von Gleichung (1) bestimmt. Man erkennt sofort, dass der in der Aufgabenstellung angegebene Wert [mm] \bruch{1}{e} [/mm] für [mm] t=\tau_{e} [/mm] erreicht wird. Die gesuchte Zeit ergibt sich somit also zu
[mm] \tau_{e}=\bruch{\epsilon}{\kappa}=\bruch{1*10^{-10}\bruch{F}{m}}{1*10^{-12}\bruch{S}{m}}=100s. [/mm] 
Vielen Dank und viele Grüße, Marcel (Die Frage hat sich somit erledigt)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Do 14.07.2011 | | Autor: | isi1 |
Du hast meine volle Bewunderung.
|
|
|
|
