Mächtigkeit von Schnittpunkten < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:30 Mo 18.05.2015 | | Autor: | Arthaire |
| Aufgabe | Sei [mm] (\IP, \IG, *,\cong) [/mm] eine Inzidenzebene mit einer Anordnung und einer Relation, welche die Anordnungsaxiome und die Kongruenzaxiome für Strecken erfüllt. Seien M [mm] \not= [/mm] A [mm] \in \IP [/mm] zwei verschiedene Punkte. Wir definieren den Kreis K =K(M,A) mit Mittelpunkt M und Radius [mm] \overline{MA} [/mm] als die Menge aller Punkte B mit [mm] \overline{MA} \cong \overline{MB}. [/mm] Man zeige:
(a) Sei P [mm] \in \IP, [/mm] P [mm] \not= [/mm] M. Dann gilt [mm] #(\overrightarrow{MP} \cap [/mm] K) = 1 und #((M [mm] \wedge [/mm] P) [mm] \cap [/mm] K) = 2.
(b)#K = [mm] \infty [/mm] (Hier sollen wir die Tatsache verwenden, dass alle Geraden einer Inzidenzebene unendlich viele Punkte haben) |
Hallo zusammen,
ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gestellt.
Bei Aufgabe a weiß ich nicht wie ich es begründen kann. Beim Zeichnen einer Skizze wird klar, dass der erste Fall stimmt, da ich einen Strahl von M aus zeichne, der nur in eine Richtung läuft und daher den Kreis nur in einem Punkt schneiden kann. Im zweiten Fall handelt es sich um eine Gerade durch den Mittelpunkt, die zwei Schnittpunte mit dem Kreis haben muss. Aber wie kann ich das mit den Axiomen beweisen? Muss ich einen Punkt einführen, der auf dem Strahl [mm] \overrightarrow{MP} [/mm] liegt?
Vielen Dank für die Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 Mo 18.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo an alle an dieser Fragestellung Interessierten!
Ich gehe stark davon aus, dass die in ![[]](/images/popup.gif) diesem Skript hier aufgeführten Axiome zugrunde liegen.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Mo 18.05.2015 | | Autor: | Arthaire |
Ja, genau, um diese Axiome handelt es sich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Mo 18.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Arthaire!
Für den ersten Teil von a) schaue dir mal das Axiom [mm] $(K_2)$ [/mm] an!
Den zweiten Teil von a) kannst du beginnen, indem du die Gerade [mm] $M\vee [/mm] P$ gemäß Korollar 3.6 "in drei Teile teilst" (nämlich in [mm] $\{M\}$ [/mm] und die beiden von M begrenzten Halbgeraden) und für jeden dieser Teile die Anzahl der Schnittpunkte mit K bestimmst.
Versuche dazu im Falle der Halbgeraden einen Zusammenhang zu Strahlen herzustellen, um den ersten Teil von a) ins Spiel zu bringen.
Bei b) gilt es, unendlich viele Punkte [mm] $Q\in [/mm] K$ zu finden.
Wir wissen schon, dass jede Gerade unendlich viele Punkte hat.
Da wäre es doch toll, wenn wir zu jedem Punkt $P$ einer Geraden $g$ je einen Punkt [mm] $Q_P\in [/mm] K$ finden würden, so dass verschiedene Punkte [mm] $P\in [/mm] G$ auch verschiedene Punkte [mm] $Q_P$ [/mm] liefern.
Durch ein Bildchen kam ich zu der Vermutung, dass folgende Konstruktion das Gewünschte leistet:
Wir wählen eine beliebige Gerade g mit [mm] $M\notin [/mm] g$. (Warum gibt es eine solche Gerade? Wenn du im Skript an der richtigen Stelle nachschlägst, musst du dazu nichts weiter tun...)
Für jeden Punkt [mm] $P\in [/mm] g$ sei [mm] $Q_P$ [/mm] das nach a) eindeutig bestimmte Element von [mm] $\overrightarrow{MP}\cap [/mm] K$.
Wenn es dir gelingt zu zeigen, dass für alle [mm] $P_1,P_2\in [/mm] Q$ mit [mm] $P_1\not=P_2$ [/mm] auch [mm] $Q_{P_1}\not=Q_{P_2}$ [/mm] gilt, hast du quasi gewonnen!
Nimm dazu widerspruchshalber an, es gäbe [mm] $P_1,P_2\in [/mm] Q$ mit [mm] $P_1\not=P_2$ [/mm] aber [mm] $Q_{P_1}=Q_{P_2}=:Q$.
[/mm]
Folgere, dass die Punkte [mm] $Q,M,P_1,P_2$ [/mm] auf einer gemeinsamen Gerade, nämlich der Gerade g liegen, was der Wahl von g mit [mm] $M\notin [/mm] g$ widerspricht.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Mo 18.05.2015 | | Autor: | Arthaire |
Hallo Tobias,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Macht es bei [mm] K_{2} [/mm] einen Unterschied, wenn ich A=A'=M setze? Dann hätte ich die Strecke [mm] \overline{MP} [/mm] und einen Strahl [mm] \overrightarrow{MP'}.
[/mm]
Die Aufteilung für den zweiten Teil von a) habe ich gemacht und daraus zwei Strahlen mit der Def. 3.12 und schon bin ich bei Teilaufgabe a)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 Mi 20.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Entschuldige bitte meine späte Antwort!
> Macht es bei [mm]K_{2}[/mm] einen Unterschied, wenn ich A=A'=M
> setze?
Gute Idee, als die Punkte A und A' aus der Formulierung von [mm] $(K_2)$ [/mm] speziell unseren Punkt M zu betrachten.
> Dann hätte ich die Strecke [mm]\overline{MP}[/mm] und einen
> Strahl [mm]\overrightarrow{MP'}.[/mm]
Was du mit der Strecke [mm] $\overline{MP}$ [/mm] anstellen möchtest und was du mit P' meinst, verstehe ich leider nicht.
Trage die Strecke [mm] $\overline{MA}$ [/mm] auf den Strahl [mm] $\overrightarrow{MP}$ [/mm] ab:
[mm] $(K_2)$ [/mm] liefert uns, dass genau ein [mm] $B\in\overrightarrow{MP}$ [/mm] existiert mit [mm] $\overline{MA}\cong\overline{MB}$.
[/mm]
Welcher Zusammenhang zu [mm] $\overrightarrow{MP}\cap [/mm] K$ (und der Mächtigkeit dieser Menge) besteht?
> Die Aufteilung für den zweiten Teil von a) habe ich
> gemacht und daraus zwei Strahlen mit der Def. 3.12 und
> schon bin ich bei Teilaufgabe a)
Du solltest genauer formulieren und argumentieren:
Was meinst du genau mit "daraus zwei Strahlen"?
Wie hängt die Gerade [mm] $M\vee [/mm] P$ mit zwei Strahlen zusammen?
Gemäß des von mir erwähnten Korollars 3.6 gibt es genau zwei Äquivalenzklassen [mm] $S_1(M)$ [/mm] und [mm] $S_2(M)$ [/mm] der Äquivalenzrelation [mm] "$\cdot$ [/mm] liegt auf der selben Seite von M wie [mm] $\cdot$" [/mm] auf [mm] $g\setminus\{M\}$.
[/mm]
Es gilt
(*) [mm] $M\vee P=\{M\}\mathbin{\dot{\cup}}S_1(M)\mathbin{\dot{\cup}}S_2(M)$.
[/mm]
(Das ist die von mir angesprochene "Aufteilung von [mm] $M\vee [/mm] P$ in drei Teile".)
Um nun zwei Strahlen der Form [mm] $\overrightarrow{MP_1}$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{MP_2}$ [/mm] zu erhalten, benötigen wir passende Punkte [mm] $P_1\not=M$ [/mm] und [mm] $P_2\not=M$.
[/mm]
Idee dazu: Wir wählen beliebige Punkte [mm] $P_1\in S_1(M)$ [/mm] und [mm] $P_2\in S_2(M)$.
[/mm]
(Insbesondere gilt dann [mm] $P_1,P_2\in (M\vee P)\setminus\{M\}$, [/mm] also tatsächlich [mm] $P_1,P_2\not=M$)
[/mm]
Das geht natürlich nur, wenn [mm] $S_1(M)$ [/mm] und [mm] $S_2(M)$ [/mm] nichtleer sind.
Aber glücklicherweise sind beide als Äquivalenzklassen tatsächlich nichtleer.
Wie hängen nun die beiden Strahlen [mm] $\overrightarrow{MP_1}$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{MP_2}$ [/mm] mit den Halbgeraden [mm] $S_1(M)$ [/mm] und [mm] $S_2(M)$ [/mm] zusammen?
Überlege dir dazu: Für $i=1,2$ gilt jeweils
(**) [mm] $S_i(M)=\overrightarrow{MP_i}\setminus\{M\}$,
[/mm]
indem du nacheinander [mm] "$\subseteq$" [/mm] und [mm] "$\supseteq$" [/mm] zeigst.
(**) in (*) eingesetzt liefert
[mm] $M\vee P=\{M\}\mathbin{\dot{\cup}}(\overrightarrow{MP_1}\setminus\{M\})\mathbin{\dot{\cup}}(\overrightarrow{MP_2}\setminus\{M\})$.
[/mm]
(Das meinte ich mit dem "Zusammenhang zwischen [mm] $M\vee [/mm] P$ und zwei Strahlen".)
Also
[mm] $(M\vee P)\cap K=[\{M\}\cap K]\mathbin{\dot{\cup}}[(\overrightarrow{MP_1}\setminus\{M\})\cap K]\mathbin{\dot{\cup}}[(\overrightarrow{MP_2}\setminus\{M\})\cap [/mm] K]$.
Somit gilt
[mm] $\#[(M\vee P)\cap K]=\#[\{M\}\cap K]+\#[(\overrightarrow{MP_1}\setminus\{M\})\cap K]+\#[(\overrightarrow{MP_2}\setminus\{M\})\cap [/mm] K]$.
Bestimme nun die drei Mächtigkeiten auf der rechten Seite.
Das führt u.a. auf die Frage: Gilt [mm] $M\in [/mm] K$?
Zeige, dass die "anschaulich naheliegende" Aussage [mm] $M\notin [/mm] K$ sich tatsächlich aus den Axiomen beweisen lässt.
Du wirst dabei Axiom [mm] $(K_2)$ [/mm] (sowie [mm] $(K_1)$) [/mm] benötigen.
Du siehst also: Es ist doch einiges zu überlegen!
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