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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Sa 19.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ich versuche gerade, meine Algebra-Zettel nachzuarbeiten und bin dabei auf folgende Aufgabe gestoßen, die mir Schwierigkeiten bereitet:
Es sei G eine Gruppe.
Zeigen Sie: |gh|=|hg| [mm] \forall g,h\in [/mm] G. |
Meine bisherige Idee ist, dass man eine vernünftige Bijektion finden muss, da man hier Gleichmächtigkeit zeigen soll.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Sa 19.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Mittlerweile habe ich verstanden, dass man bei dieser Aufgabe zeigen soll, dass die Ordnung der Gruppenelemente gh und hg identisch ist.
1. Fall: Die Gruppe G ist von unendlicher Ordnung.
[mm] |gh|=||=|\{...,(gh)^{-2},(gh)^{-1},e,gh,(gh)^2,...\}|
[/mm]
[mm] |hg|=||=|\{...,(hg)^{-2},(hg)^{-1},e,hg,(hg)^2,...\}|
[/mm]
[Wie zeigt man hier nun die Gleichheit der Ordnung?]
2. Fall: Die Gruppe G ist von endlicher Ordnung.
Dann existieren [mm] k,m\in \IN, [/mm] sodass [mm] (gh)^k=(hg)^m=e, [/mm] d.h.
[mm] |gh|=||=|\{e,gh,(gh)^2,...,(gh)^{k-1}\}|
[/mm]
[mm] |hg|=||=|\{e,hg,(hg)^2,...,(hg)^{m-1}\}|
[/mm]
[Die erste Menge hat k Elemente, die zweite Menge hat m Elemente - wie zeigt man aber nun, dass k=m?] |
Wer kann mir einen Tipp geben zu den Fragen, die ich in die eckigen Klammern geschrieben habe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Sa 19.02.2011 | | Autor: | zahllos |
Hallo dennis2,
angenommen die Ordnung von gh ist endlich.
Dann gilt z.B.: [mm] (gh)^p [/mm] = e Daraus folgt [mm] g(hg)^{p-1}h [/mm] = e und [mm] (hg)^{p-1}=g^{-1}h^{-1} [/mm]
Was kannst du daraus über die Ordnung von hg sagen?
Wenn dagegen die Ordnung von gh unendlich ist, müssen alle Gruppenelemente der Form [mm] (gh)^p [/mm] voneinander verschieden sein. Wenn nun die Ordnung von hg nicht ebenfalls unendlich ist, d.h. wenn [mm] (hg)^p=e [/mm] ist, so erhält man [mm] (gh)^{p+1} [/mm] = [mm] g(hg)^{p}h. [/mm] Was folgt daraus?
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