MWS für vektorwertige Fkt. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 Fr 01.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend alle zusammen!
Ich vesuche zur Zeit den Mittelwertsatz für vektorwertige Funktionen nachzuvollziehen. Leider bekomme ich irgendwie überhaupt keinen Zugang zum Satz, und verstehe nicht wirklich was damit ausgesagt wird. Da ich schon den Satz nicht verstehe, komme ich natürlich auch nicht weiter beim Beweis dazu. Ich hoffe, dass mir jemand dabei helfen kann, den Inhalt dieses Satzes zu verstehen.
SATZ :
Sei U offen in [mm] \mathbb R^n [/mm], und [mm] f: U \to \mathbb R^m [/mm] von der Klasse [mm] C^1 [/mm].
Seien [mm] x, \xi \in \mathbb R^n [/mm] so, dass die Verbindungsstrecke von x und [mm] x + \xi [/mm] in U liegt.
Dann gibt es ein [mm] M \ge 0 [/mm] mit
[mm] \| Df ( x + t \xi ) \cdot v \| \le M \cdot \| v \| [/mm] für [mm] 0 \le t \le 1 , \ v \in \mathbb R^n [/mm].
Für jedes solche M gilt:
[mm] \| f(x + t \xi ) - f(x) \| \le M \| \xi \| [/mm].
Ich kenne den Mittelwertsatz und den verallgemeinerten Mittelwertsatz aus Analysis I , aber irgendwie kann ich nicht den Zusammenhang zu dieser version für vektorwertige Funktionen erkennen.
Vielen Dank im voraus!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Sa 02.08.2008 | | Autor: | Blech |
Hi,
Auch wenn wir hier mit vektorwertigen Funktionen arbeiten, ist die Ableitung immer noch ein Maß dafür, wie sehr sich der output ändert [mm] ($\| [/mm] f(y ) - f(x) [mm] \|$), [/mm] wenn wir den input ändern [mm] ($\| [/mm] y-x [mm] \|$).
[/mm]
Dein Satz sagt, daß die maximalen Schwankungen des outputs durch den maximalen Wert der Ableitung auf der Strecke zwischen den beiden Punkten beschränkt ist.
Für n=m=1 heißt das also z.B., daß wenn die Funktion zwischen 3 und 4 absolut höchstens die Steigung 2 hat, dann kann sich der Funktionswert auch maximal um 2 ändern. Für n,m>1 messen wir die Änderungen von input- und output-Wert mit einer Norm.
Im einzelnen:
> Sei U offen in [mm]\mathbb R^n [/mm], und [mm]f: U \to \mathbb R^m[/mm] von
Wir betrachten eine Funktion, die auf einer offenen Menge
> der Klasse [mm]C^1 [/mm].
halbwegs hübsch ist. Eine offene Menge, weil auf den Rändern dann schlimme Sachen passieren können, ohne daß es uns interessieren muß.
> Seien [mm]x, \xi \in \mathbb R^n[/mm] so, dass die
> Verbindungsstrecke von x und [mm]x + \xi[/mm] in U liegt.
Wir nehmen uns aus dieser offenen Menge zwei beliebige Punkte x und y, deren Verbindungsstrecke auch in der offenen Menge liegt (U könnte bananenförmig sein. Wenn wir auf dem Weg von x nach y aus U rausgetragen werden, kann dort die Funktion natürlich völlig wild aussehen, weil wir ja nichts über ihr Aussehen außerhalb von U gefordert haben. Also müssen wir in U bleiben).
Den Vektor von x nach y nennen wir [mm] $\xi [/mm] := y-x$.
> Dann gibt es ein [mm]M \ge 0[/mm] mit
> [mm]\| Df ( x + t \xi ) \cdot v \| \le M \cdot \| v \|[/mm] für [mm]0 \le t \le 1 , \ v \in \mathbb R^n [/mm].
Da wir in U bleiben, existiert Df auf jedem Punkt der Verbindungsstrecke zwischen x und y. D.h. für alle Konvexkombinationen von x und y: [mm] $(1-t)x+ty=x+t(y-x)=x+t\xi$, $0\leq t\leq [/mm] 1$
[mm] $\| [/mm] Df ( x + t [mm] \xi [/mm] ) [mm] \cdot [/mm] v [mm] \|\le [/mm] M [mm] \cdot \| [/mm] v [mm] \|$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \frac{\| Df ( x + t \xi ) \cdot v \|}{\|v\|}\le [/mm] M $
[mm] $\Leftrightarrow \| [/mm] Df ( x + t [mm] \xi [/mm] ) [mm] \cdot \frac{v}{\|v\|}\|\le [/mm] M $
$Df ( x + t [mm] \xi [/mm] ) [mm] \cdot \frac{v}{\|v\|}$ [/mm] ist die Richtungsableitung von f im Punkt [mm] $x+t\xi$ [/mm] in Richtung v. (bzw. die normierte Richtungsableitung. Man fordert nicht immer, daß der Vektor von Haus aus normiert sein muß).
Also:
1. Aussage des Satzes:
Wenn unser f auf der Verbindungsstrecke zwischen 2 Punkten x und y stetig diffbar ist, dann finden wir ein M, das die Richtungsableitung in jedem Punkt auf der Verbindungsstrecke und in jede Richtung beschränkt ist
(bezüglich unserer Vektornorm. Das entspricht der Aussage, daß Df beschränkt ist bezüglich der Operatornorm, die von unserer Vektornorm induziert wird durch [mm] $\| A\|_O [/mm] := [mm] \sup_{v\in\IR^n, \|v\|=1} \| Av\|$)
[/mm]
> Für jedes solche M gilt:
> [mm]\| f(x + t \xi ) - f(x) \| \le M \| \xi \| [/mm].
Sicher, daß da nicht ein t fehlt, bzw. zu viel ist?
[mm] $\frac{\| f(x + \xi ) - f(x) \|}{\|\xi\|}=\frac{\| f(y ) - f(x) \|}{\| y-x \|}\leq [/mm] M$
ist die "Steigung" (natürlich bzgl. der Normen) der Geraden durch die Punkte $(x;f(x))$ und $(y;f(y))$. Und diese Steigung ist durch die maximale Steigung M beschränkt.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:38 Sa 02.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Stefan
Erstmal vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort!
Jetzt kann ich mir ein Bild zu dem Satz vorstellen  .
Und : Ja, ich habe da ein t zuviel... :-(.
Viele Grüße
Irmchen
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