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ML-Schätzer ermitteln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Sa 12.07.2008
Autor: Analytiker

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Dichtefunktion: f(x)=\begin{cases} \bruch{\lambda^{4}*e^{-\lambda*x}*x^{3}}{3!}, & \mbox{für } x \mbox{ >0} \\ 0, & \mbox{für } sonst \mbox{} \end{cases}

a) Leiten Sie den allgemeinen ML-Schätzwert für \lambda her.

b) Bestimmen Sie den Schätzwert für diese Stichprobe.

Hi ihr Lieben,

ich habe ungeahnte Problem beim logarithmieren... *lach*! Habe es einfach schon zu lange nicht mehr gemacht, und brauche echt ein wenig Support ;-)!

zu a)

L = $ \produkt_{i=1}^{n} \lambda^{4}*e^{-\lambda*x}*x^{3}}{3!} $

ln(L) = $ \summe_{i=1}^{n} \vektor{\bruch{\lambda^{4}*e^{-\lambda*x}*x^{3}}{3!}}} $

ln(L) = $ \summe_{i=1}^{n} \vektor{ln(\lambda^{4}*e^{-\lambda*x}*x^{3)}-ln(6)} $

ln(L) = $ \summe_{i=1}^{n} \vektor{ln(\lambda^{4}) - \lambda * x * ln(e) * ln(x^{3}) - ln(6)} $

ln(L) = $ \summe_{i=1}^{n} \vektor{4*ln(\lambda) - \lambda * x * 3 * ln(x) - ln(6)} $

..... tja, aber irgendwie "fühlt" sich das alles nicht so gut an *g*! Kann mir bitte wer helfen!?!

Liebe Grüße
Analytiker
[lehrer]

        
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ML-Schätzer ermitteln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 Sa 12.07.2008
Autor: vivo

Hallo,

wenn du in der letzten zeile zwischen [mm] -\lambda [/mm] x und 3lnx noch ein + statt * schriebst sollte es stimmen

und die x müssen natürlich den Index erhalten also: [mm] x_i [/mm]

gruß



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ML-Schätzer ermitteln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:38 Sa 12.07.2008
Autor: Analytiker

Hallo,

vielen Dank erst einmal. :)

> wenn du in der letzten zeile zwischen [mm]-\lambda[/mm] x und 3lnx
> noch ein + statt * schriebst sollte es stimmen

Wieso denn das? Geht das mit den Logarithmusgesetzen konform, oder habe ich da gerade wieder nen Brett vorm Kopp *lach*?
  

> und die x müssen natürlich den Index erhalten also: [mm]x_i[/mm]

Ja, das schon ok... einem solchen "Formalismus" habe ich mich noch nie hingeben *lol*! Da siegt die Faulheit... aber danke für den gut gemeinten Hinweis.

Liebe Grüße
Analytiker
[lehrer]

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ML-Schätzer ermitteln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:59 Sa 12.07.2008
Autor: luis52

Moin,

du hast es hier mit einem Spezialfall der Erlangverteilung zu tun,
die wiederum ein Spezialfall der Gamma-Verteilung ist. Vielleicht hilft
dir []das auf die Spruenge.

vg Luis

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ML-Schätzer ermitteln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:02 Sa 12.07.2008
Autor: Analytiker

Hi Luis,

> du hast es hier mit einem Spezialfall der Erlangverteilung
> zu tun,die wiederum ein Spezialfall der Gamma-Verteilung ist.

Wat is los *lach*! Mensch, ich bin ne "dummer" BWL'er *lach*! Statistik is nur ein nerviges Übel, was ich leider belegen muss. Also nochmal für "normal" denkende Menschen! Wo genau liegt hier das Problem, welches den Sonderfall (wie von dir deklariert) begründen würde? Und wie komme ich da jetzt zu meinem ML-Schätzer?

> Vielleicht hilft
> dir []das auf
> die Spruenge.

[notok] Ne, eher nicht so *g*! In ein bis zwei Sätzen auf den Punkt gebracht, würde mir mehr helfen. Aber trotzdem vielen lieben Dank für den Versuch :)!

Liebe Grüße
Analytiker
[lehrer]

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ML-Schätzer ermitteln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:13 Sa 12.07.2008
Autor: vivo

hallo,

das mit dem plus, resultiert aus den rechenregeln des ln

ln(a*b)=lna + lnb

so, dann ziehst du alle unabhängigen teile aus der Summe und bildest die erste und zweite ableitung, erste nullsetzen extrema finden in zweite einsetzen und prüfen ob ein maximum vorliegt,

bie b) sind scheinbar konkrete werte für die [mm] x_i [/mm] gegeben

gruß



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ML-Schätzer ermitteln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:21 Sa 12.07.2008
Autor: Analytiker

Moin vivo,

vielen Dank.

> das mit dem plus, resultiert aus den rechenregeln des ln
>  
> ln(a*b)=lna + lnb

Jo, die Regel kenn ich *lach*! Aber die muss doch da an dieser Stelle gar nicht angwedent werden, oder? Ich meine ich hol doch nur den Exponenten (3) runter, der Rest bleibt doch so, oder wie?

> so, dann ziehst du alle unabhängigen teile aus der Summe
> und bildest die erste und zweite ableitung, erste
> nullsetzen extrema finden in zweite einsetzen und prüfen ob
> ein maximum vorliegt,

Jo, das wäre der Weg... naja mal sehen, ob ich's heute noch packe *g*!

> bie b) sind scheinbar konkrete werte für die [mm]x_i[/mm] gegeben

Ja, sind auch... das bekomme ich dann selbst hin, den Krams einzusetzen... ;-)!

Lieeb Grüße
Analytiker
[lehrer]

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ML-Schätzer ermitteln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 Sa 12.07.2008
Autor: vivo

da steht doch

[mm] ln(\lambda^4 [/mm] * [mm] e^{-\lambda x} [/mm] * [mm] x^3) [/mm] und jetzt wendest du

ln(a*b*c) = lna + lnb+ lnc      

an .-) mit dem bruch hast dus doch auch richtig gemacht und am anfang wo du den ln in [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] gezogen hast doch auch

gruß

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ML-Schätzer ermitteln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:41 So 13.07.2008
Autor: Analytiker

Moin,

> an .-) mit dem bruch hast dus doch auch richtig gemacht und
> am anfang wo du den ln in [mm]\produkt_{i=1}^{n}[/mm] gezogen hast
> doch auch

jo, jetzt habe ich das auf wieder auf'n Schirm ;-)! Also ich würde dann so weitermachen:

$ [mm] \summe_{i=1}^{x}(4*ln(\lambda)) [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{x}(\lambda*x [/mm] + 3ln(x) - ln(6)) $

So, nun muss ich ja irgendwie die Variablen x da rausbekommen ;-)! Kann mir jemand weiterhelfen?

Liebe Grüße
Analytiker
[lehrer]

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ML-Schätzer ermitteln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:11 So 13.07.2008
Autor: luis52

Moin Analytiker,


stell dir vor, es liegt eine Stichprobe [mm] $x_1,\dots,x_n$ [/mm] vor.  Dann
lautet die Likelihoodfunktion

[mm] $L(\lambda)=\prod_{i=1}^nf(x_i)=\prod_{i=1}^n\frac{\lambda^{4}\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}x_i}\cdot{}x_i^{3}}{3!}=\lambda^{4n}\exp(-\lambda\sum_{i=1}^nx_i)(\prod_{i=1}^nx_i/3!)^3$. [/mm]

Die logarithmierte L-Funktion ist demnach


[mm] $\ln L(\lambda)=4n\ln\lambda-\lambda\sum_{i=1}^n x_i+\ln(\prod_{i=1}^nx_i/3!)^3$. [/mm]

Bestimme nun das Maximum von [mm] $\ln L(\lambda)$ [/mm] ...



vg Luis

                    

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ML-Schätzer ermitteln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:15 So 13.07.2008
Autor: Analytiker

Moin luis,

> stell dir vor, es liegt eine Stichprobe [mm]x_1,\dots,x_n[/mm] vor.  

??? ;-)

> Bestimme nun das Maximum von [mm]\ln L(\lambda)[/mm] ...

Deine Aussagen haben für mich leider wenig Gehalt, denn ich will doch GERADE kein Produkt differenzieren ;-)! Ich meine, ich bin doch noch nicht soweit, die L-Funktion richtig umgestellt zu haben, um sie gut differenzieren zu können, oder wie? Und ich wollte auch jetzt nicht meinen "mühesam" beschrittenen Weg verlassen, und nochmal von "neu" mit nem anderen Ansatz anfangen...

Liebe Grüße
Analytiker
[lehrer]

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ML-Schätzer ermitteln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:12 So 13.07.2008
Autor: vivo

Hallo,

bei dir steht doch jetzt genau das selbe da wie bei Luis !

deine Summe:

[mm] \summe_{i=1}^{n}(4ln\lambda [/mm] - [mm] \lambda x_i [/mm] + [mm] 3ln(x_i) [/mm] - ln6) =
[mm] n4ln\lambda [/mm] - nln6 + 3 [mm] \summe_{i=1}^{n} lnx_i [/mm] - [mm] \lambda \summe_{i=1}^{n} x_i [/mm]

= [mm] 4ln\lambda [/mm] - [mm] \lambda \summe_{i=1}^{n} x_i [/mm] + ln ( [mm] \produkt_{i=1}^{n} \bruch{x_i^3}{3!} [/mm]

[mm] L(\lambda)' [/mm] = ?

gruß



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ML-Schätzer ermitteln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:16 So 13.07.2008
Autor: Analytiker

Hallo,  

> bei dir steht doch jetzt genau das selbe da wie bei Luis !

ja, aber welche Vorteil hat es denn über ein Produkt zu differenzieren...? Dachte immer, es wäre leichter über die Summe? Oder wie?

Liebe Grüße
Analytiker
[lehrer]

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ML-Schätzer ermitteln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:25 So 13.07.2008
Autor: vivo

Luis weg ging schneller und es steht irgendwie schöner da, denn wenn du jetzt nach [mm] \lambda [/mm] differenzierst, fallen alle Teile die kein [mm] \lambda [/mm] enthalten weg!

es bleibt also stehen:

[mm] L(\lambda)' [/mm] = [mm] 4n\bruch{1}{\lambda} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{n} x_i [/mm]
[mm] L(\lambda)'' [/mm] = [mm] -4n\bruch{1}{\lambda^2} [/mm]

also maximum bei [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{4n}{\summe_{i=1}^{n} x_i} [/mm]

nicht vergessen dies in die zweite Ableitung einzusetzen und zu prüfen ob das Ergebnis < 0 ist !

gruß

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ML-Schätzer ermitteln: Interpretation
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 So 13.07.2008
Autor: Analytiker

Hi du,

alles klaro, soweit so gut. Jetzt  habe ich für b) fünf Sticprobenwerte, und errechne für diese somit den ML-Schätzwert. Der ist hier 5. Was sagt mir dieser nun? Wie interpretiere ich hier richtig? Aufgabenkontext: Es ist eine SP genommen worde, wo 5 Stückzahlen gezählt worden sind. Was sagt mir nun mein ML-Schätzer in Bezug auf das?

Liebe Grüße
Analytiker
[lehrer]

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ML-Schätzer ermitteln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:08 So 13.07.2008
Autor: vivo

ML-Schätzer grundsätzlich: der Schätzer für den die Wahrscheinlichkeit maximal wird bzw. die Dichte

in diesem Fall: kommt darauf an was [mm] \lambda [/mm] welches wir ja geschätzt haben bei dieser Verteilung ist.


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