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Forum "Uni-Stochastik" - ML-Schätzer bestimmen
ML-Schätzer bestimmen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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ML-Schätzer bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Do 14.10.2010
Autor: lustigerhurz

Aufgabe
$ [mm] X_{1} [/mm] $ ~ $ [mm] \beta(1,\theta+1), [/mm] $
mit
$ [mm] f(x,\theta)=((\theta+1)\cdot{}(1-x)^{\theta}\cdot{} 11_{0,1}(x) [/mm] $      
Bestimme den ML-Schätzer für $ [mm] \theta [/mm] $

[mm] L(X_{1},....,X_{n},\theta) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n} ((\theta+1)\cdot{}(1-x)^{\theta}\cdot{} 11_{0,1}(x) [/mm]

[mm] =(\theta+1)^{n}*\produkt_{i=1}^{n}(1-x)^{\theta}*11_{0,1}(minX_{i})*11_{0,1}(maxX_{i}) [/mm]



[mm] logL(X_{1},....,X_{n},\theta)=n*log(\theta+1)+.......... [/mm]

So ab hier steck ich fest. Ich weiß dass es eine Regel gibt, wo das Produktzeichen beim logarithmieren zur Summe wird.

        
Bezug
ML-Schätzer bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:50 Do 14.10.2010
Autor: fred97


> [mm]X_{1}[/mm] ~ [mm]\beta(1,\theta+1),[/mm]
>  mit
>  [mm]f(x,\theta)=((\theta+1)\cdot{}(1-x)^{\theta}\cdot{} 11_{0,1}(x)[/mm]
>      
> Bestimme den ML-Schätzer für [mm]\theta[/mm]
>  [mm]L(X_{1},....,X_{n},\theta)[/mm] = [mm]\produkt_{i=1}^{n} ((\theta+1)\cdot{}(1-x)^{\theta}\cdot{} 11_{0,1}(x)[/mm]



Hinter dem Zeichen [mm] \produkt [/mm] ist kein Laufindex  [mm]i [/mm]  !!

Weiter fehlt noch eine Klammer, oder ist eine zuviel




>  
> [mm]=(\theta+1)^{n}*\produkt_{i=1}^{n}(1-x)^{\theta}*11_{0,1}(minX_{i})*11_{0,1}(maxX_{i})[/mm]
>  
>
>
> [mm]logL(X_{1},....,X_{n},\theta)=n*log(\theta+1)+..........[/mm]
>  
> So ab hier steck ich fest. Ich weiß dass es eine Regel
> gibt, wo das Produktzeichen beim logarithmieren zur Summe


Ist a= [mm] \produkt_{i=1}^{n}a_i*b*c, [/mm] so ist

         $log(a) = [mm] \summe_{i=1}^{n}log(a_i)+log(b)+log(c)$ [/mm]

Immer schön nach der Regel:

              $log(x*y)=log(x)+log(x)$

FRED


> wird.


Bezug
                
Bezug
ML-Schätzer bestimmen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:00 Do 14.10.2010
Autor: lustigerhurz

$ [mm] L(X_{1},....,X_{n},\theta) [/mm] $ = $ [mm] \produkt_{i=1}^{n} (\theta+1)\cdot{}(1-x)^{\theta}\cdot{} 11_{0,1}(x) [/mm] $

$ [mm] =(\theta+1)^{n}\cdot{}\produkt_{i=1}^{n}(1-x)^{\theta}\cdot{}11_{0,1}(minX_{i})\cdot{}11_{0,1}(maxX_{i}) [/mm] $



$ [mm] logL(X_{1},....,X_{n},\theta)=n\cdot{}log(\theta+1)+\theta*\summe_{i=1}^{n} [/mm] log(1-x)

Nun nach [mm] \theta [/mm] ableiten:

[mm] \bruch{d}{d\theta}= \bruch{n}{\theta+1}+\summe_{i=1}^{n} [/mm] log(1-x)

Nun Ableitung =0 setzen und nach [mm] \theta [/mm] auflösen:

[mm] \theta= \bruch{n}{-\summe_{i=1}^{n} log(1-x)}-1 [/mm]

Da die zweite Ableitung <0, folgt dass die ein ML-Schätzer ist.
Ist es so richtig?

Bezug
                        
Bezug
ML-Schätzer bestimmen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:08 Sa 16.10.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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