ML-Schätzer / Gleichverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Mi 02.05.2007 | | Autor: | ps4c7 |
| Aufgabe | | Seien [mm] X_{1},...,X_{n} [/mm] unabhängig und identisch gleichverteilt auf dem Intervall [mm] [p-\bruch{1}{2},p+\bruch{1}{2}]. [/mm] Seien [mm] X_{(1)}=min\{X_{1},...,X_{n}\} [/mm] und [mm] X_{(n)}=max\{X_{1},...,X_{n}\}. [/mm] Zeige, dass [mm] X_{(n)}-\bruch{1}{2}, X_{1}+\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] \bruch{1}{2}*(X_{(1)}+X_{(n)}) [/mm] Maximum-Likelihood Schätzer von p sind. |
Also ich hab die Likelihood-Funktion mal bestimmt und habe dann Folgendes raus:
[mm] L(x_{1},...,x_{n},p)=\produkt_{i=1}^{n}1_{[p-\bruch{1}{2},p+\bruch{1}{2}]}(x_{i})=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } x_{i}\in[p-\bruch{1}{2},p+\bruch{1}{2}] \forall i=1,...,n \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] (1 ist die Indikatorfunktion)
Nur leider komme ich hier nicht mehr weiter. Ich weiß nur, dass alle [mm] x_{i} [/mm] im gesuchten Intervall liegen müssen. Und das gewährleisten meiner Meinung nach die beiden ersten Schätzer mit min und max auf jeden Fall, beim dritten hab ich noch nicht wirklich viel Ahnung. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte, das ganze mathematisch korrekt zu formulieren. Ich denke, dass ist bei dieser Aufgabe das Komplizierteste.
Vielen Dank schonmal im Voraus!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Mi 02.05.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Patrick,
du stehst kurz vor dem Ziel. Damit [mm] $x_i\in[p-1/2,p+1/2]$ [/mm] fuer alle [mm] $x_i$
[/mm]
erfuellt ist, muss gelten [mm] $x_{(n)}-1/2\le p\le x_{(1)}+1/2$. [/mm] Mithin gilt
$L(p)=1$ fuer [mm] $x_{(n)}-1/2\le p\le x_{(1)}+1/2$ [/mm] und $L(p)=0$. (Mach dir eine Skizze). Folglich ist *jeder* Wert im Intervall [mm] $[x_{(n)}-1/2, x_{(1)}+1/2]$ [/mm] eine ML-Schaetzung fuer $p$, also auch die Intervallgrenzen und die Mitte [mm] $(x_{(n)}+x_{(1)})/2$.
[/mm]
lg luis
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