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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:33 Mi 02.05.2007 | | Autor: | ps4c7 |
| Aufgabe | | Seien [mm] X_{1},...,X_{n} [/mm] unabhängig und identisch binomialverteilt mit Parametern n=1 und 0 [mm] \le [/mm] p [mm] \le \bruch{1}{2}. [/mm] Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood Schätzer für p. |
Also die Dichten der jeweiligen Zufallsvariablen sind [mm] f(x_{i})=p^{x_{i}}*(1-p)^{1-x_{i}}*1_{\{0,1\}}(x_{i}) [/mm] wobei 0 [mm] \le [/mm] p [mm] \le \bruch{1}{2} [/mm] ist (1 soll die Indikatorfunktion darstellen), das ist mir noch klar.
Die Likelihoodfunktion habe ich auch schon bestimmt, sowie die Log-Likelihoodfunktion:
Likelihood: [mm] L(x_{1},...,x_{n},p)=\produkt_{i=1}^{n}p^{x_{i}}*(1-p)^{1-x_{i}}*\produkt_{i=1}^{n}1_{\{0,1\}}(x_{i})=p^{y}*(1-p)^{n-y}*\produkt_{i=1}^{n}1_{\{0,1\}}(x_{i}) [/mm] wobei [mm] y:=\summe_{i=1}^{n}x_{i}.
[/mm]
Log-Likelihood: [mm] l(x_{1},...,x_{n},p)=y*ln(p)+(n-y)*ln(1-p)+\summe_{i=1}^{n}1_{\{0,1\}}(x_{i})
[/mm]
Soweit, so gut.
Ich will also jetzt versuchen die Log-Likelihood-Funktion zu maximieren, um somit meinen Schätzer für p zu bekommen. Also leite ich die Log-Likelihood ab. Jedoch muss ich hier eine Fallunterscheidung machen (da 0 [mm] \le [/mm] p [mm] \le \bruch{1}{2}). [/mm] Hier liegt nun mein Problem:
Wenn 0 [mm] \le [/mm] p [mm] \le [/mm] 1 als Voraussetzung gelten würde, dann würde ich einfach drei Fälle betrachten:
1. 0<y<n: Ich erhalte durch ableiten als Schätzer [mm] p=\bruch{y}{n}
[/mm]
2. y=0: Ich maximiere die Funktion n*ln(1-p) und erhalte [mm] p=0=\bruch{y}{n}
[/mm]
3. y=n: Ich maximiere die Funktion n*ln(p) und erhalte [mm] p=1=\bruch{y}{n}
[/mm]
Also habe ich letztlich den ML-Schätzer [mm] p=\bruch{y}{n}
[/mm]
Aber wie mache ich das ganze nun für 0 [mm] \le [/mm] p [mm] \le \bruch{1}{2}? [/mm] Im dritten Fall kann p ja nicht 1 werden (nach Voraussetzung)?!
Habe ich etwa folgende 3 Fälle:
1. y=0: Analog zu oben
2. 0 < y [mm] \le \bruch{n}{2}: [/mm] Analog zum 1. Fall oben
3. [mm] y>\bruch{n}{2}: [/mm] Ich setze hier einfach [mm] p=\bruch{1}{2} [/mm] (das hab ich mir jetzt einfach logisch gedacht. Also wenn mehr als die Hälfte der [mm] X_{i} [/mm] zutreffen, dann setzte ich den Schätzer für p auf [mm] \bruch{1}{2})
[/mm]
Oder bleibt der Schätzer wie im Fall 0 [mm] \le [/mm] p [mm] \le [/mm] 1???
Bin ein wenig verwirrt und würde mich über eine schnelle Antwort freuen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Mi 02.05.2007 | | Autor: | ps4c7 |
Wirklich keiner hier, der mir helfen kann?? Wäre echt super, wenn sich jem. findet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Fr 04.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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