Lyapunov - Stabilität in (0,0) < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Do 23.12.2010 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Gegeben ist:
x'=y
y'=-y*(1+sin(x) [mm] )+y^2*(1+cos(x) )-x+x^3 [/mm]
und 3 Funktionen:
V (x; y) = [mm] 2x^2 [/mm] - [mm] 2y^2 [/mm] + [mm] x^4
[/mm]
W(x; y) = [mm] 2x^2 [/mm] + [mm] 2y^2 [/mm] + [mm] x^4
[/mm]
Z(x; y) = [mm] 2x^2 [/mm] + [mm] 2y^2- x^4
[/mm]
auf welchen die Stabilität von (0,0) untersucht werden soll. Gesucht ist die geeignete Funktion für die Untersuchung |
Hallo und frohe Weihnachten alle miteinander
Nun das Problem beschäftigt sich weniger mit Lyapunov, die Vorgehensweise dort ist mir klar. Es happert an grundlegenden Sachen, und zwar schaffe ich es nicht herauszufinden, welche Funktion für die Untersuchung geeignet ist.
Die Lösung ist, dass die Untersuchung mit Z(x,y) gemacht wird!
Nun die Funktion muss positiv definit sein, also positiv im Umfeld von (0,0). Wie schaffe ich das herauszufinden?
Der simpelste aber doch aufwendigste Weg wäre einfaches durchprobieren mit Zahlen x=0 und y=..., aber ich glaube kaum, dass das der Sinn der Sache ist. Noch dazu würde ich bei dieser Methode die Funktion W wählen, da sie eindeutig positiv ist für alle x,y.
Ich bitte um einen Ratschlag!
Danke
lg
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Hallo Zuggel,
> Gegeben ist:
> x'=y
> y'=-y*(1+sin(x) [mm])+y^2*(1+cos(x) )-x+x^3[/mm]
> und 3 Funktionen:
> V (x; y) = [mm]2x^2[/mm] - [mm]2y^2[/mm] + [mm]x^4[/mm]
> W(x; y) = [mm]2x^2[/mm] + [mm]2y^2[/mm] + [mm]x^4[/mm]
> Z(x; y) = [mm]2x^2[/mm] + [mm]2y^2- x^4[/mm]
>
> auf welchen die Stabilität von (0,0) untersucht werden
> soll. Gesucht ist die geeignete Funktion für die
> Untersuchung
> Hallo und frohe Weihnachten alle miteinander
Danke, gleichfalls.
>
> Nun das Problem beschäftigt sich weniger mit Lyapunov, die
> Vorgehensweise dort ist mir klar. Es happert an
> grundlegenden Sachen, und zwar schaffe ich es nicht
> herauszufinden, welche Funktion für die Untersuchung
> geeignet ist.
>
> Die Lösung ist, dass die Untersuchung mit Z(x,y) gemacht
> wird!
>
> Nun die Funktion muss positiv definit sein, also positiv im
> Umfeld von (0,0). Wie schaffe ich das herauszufinden?
Ohne Zweifel ist (0,0) die Ruhelage des Systems.
Nun müßtest Du eigentlich zuerst die ![[]](/images/popup.gif) Ljapunov-Funktion herausfinden.
Da der Kandidat für die Ljapunov-Funktion an der Stelle (0,0)
ein striktes lokales Minimum haben muß, kannst Du hier
bestimmte Funktionen schon ausschliessen.
>
> Der simpelste aber doch aufwendigste Weg wäre einfaches
> durchprobieren mit Zahlen x=0 und y=..., aber ich glaube
> kaum, dass das der Sinn der Sache ist. Noch dazu würde ich
> bei dieser Methode die Funktion W wählen, da sie eindeutig
> positiv ist für alle x,y.
>
> Ich bitte um einen Ratschlag!
>
> Danke
> lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Fr 24.12.2010 | | Autor: | Zuggel |
> Da der Kandidat für die Ljapunov-Funktion an der Stelle
> (0,0)
> ein striktes lokales Minimum haben muß, kannst Du hier
> bestimmte Funktionen schon ausschliessen.
>
Definiert hier das Wort "strikt" irgendetwas was du mir sagen willst, ich aber nicht verstehe?
Gut, ich würde hier vorschlagen ich untersuche für meine 3 Funktionen die Jacobi Matrix (habe ich bereits bevor ich den Eintrag geschrieben habe versucht, hier das Problem dabei):
[mm] J(V)=\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & -4 } [/mm] -> Eigenwerte positiv und negativ. Also kein Minimum. Ist das dann eigtl. ein Sattelpunkt?
[mm] J(W)=\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 4 } [/mm] -> Eigenwerte positiv, also ein Minimum in 0,0?
[mm] J(Z)=\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 4 } [/mm] -> tja jetzt habe ich mein Problem...
Welche Funktion ist nun geeignet, W und Z? Laut Lösung wie gesagt nur Z...
lg
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Hallo Zuggel,
> > Da der Kandidat für die Ljapunov-Funktion an der Stelle
> > (0,0)
> > ein striktes lokales Minimum haben muß, kannst Du hier
> > bestimmte Funktionen schon ausschliessen.
> >
>
> Definiert hier das Wort "strikt" irgendetwas was du mir
> sagen willst, ich aber nicht verstehe?
In einer Umgebung des Punktes (0,0) darf es kein
weiteres Punktepaar geben, das den Wert 0 annimmt.
>
> Gut, ich würde hier vorschlagen ich untersuche für meine
> 3 Funktionen die Jacobi Matrix (habe ich bereits bevor ich
> den Eintrag geschrieben habe versucht, hier das Problem
> dabei):
>
> [mm]J(V)=\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & -4 }[/mm] -> Eigenwerte positiv und
> negativ. Also kein Minimum. Ist das dann eigtl. ein
> Sattelpunkt?
>
> [mm]J(W)=\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 4 }[/mm] -> Eigenwerte positiv, also
> ein Minimum in 0,0?
>
> [mm]J(Z)=\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 4 }[/mm] -> tja jetzt habe ich mein
> Problem...
>
> Welche Funktion ist nun geeignet, W und Z? Laut Lösung wie
> gesagt nur Z...
Wenn Du die orbitale Ableitung für diese Funktionen bildest, dann stellst Du fest, daß beide orbitalen Ableitungen stets [mm]\le 0[/mm] sind.
Meines Erachtens ist Z nur aus Vereinfachungsgründen gewählt worden.
>
> lg
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Mi 29.12.2010 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo Zuggel,
>
> > > Da der Kandidat für die Ljapunov-Funktion an der Stelle
> > > (0,0)
> > > ein striktes lokales Minimum haben muß, kannst Du
> hier
> > > bestimmte Funktionen schon ausschliessen.
> > >
> >
> > Definiert hier das Wort "strikt" irgendetwas was du mir
> > sagen willst, ich aber nicht verstehe?
>
>
> In einer Umgebung des Punktes (0,0) darf es kein
> weiteres Punktepaar geben, das den Wert 0 annimmt.
>
>
> >
> > Gut, ich würde hier vorschlagen ich untersuche für meine
> > 3 Funktionen die Jacobi Matrix (habe ich bereits bevor ich
> > den Eintrag geschrieben habe versucht, hier das Problem
> > dabei):
> >
> > [mm]J(V)=\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & -4 }[/mm] -> Eigenwerte positiv und
> > negativ. Also kein Minimum. Ist das dann eigtl. ein
> > Sattelpunkt?
> >
> > [mm]J(W)=\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 4 }[/mm] -> Eigenwerte positiv, also
> > ein Minimum in 0,0?
> >
> > [mm]J(Z)=\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 4 }[/mm] -> tja jetzt habe ich mein
> > Problem...
> >
> > Welche Funktion ist nun geeignet, W und Z? Laut Lösung wie
> > gesagt nur Z...
>
>
> Wenn Du die orbitale Ableitung
> für diese Funktionen bildest, dann stellst Du fest, daß
> beide orbitalen Ableitungen stets [mm]\le 0[/mm] sind.
>
> Meines Erachtens ist Z nur aus Vereinfachungsgründen
> gewählt worden.
Ok. Jedenfalls, orbitale Abeltiung, Trotz versuch zu Verstehen was hier auf Wikipedia gemeint ist, wärst du so freundlich mir hier zu zeigen anhand von W oder Z, was mit orbitaler Ableitung gemeint ist. Mir sagt der Ausdruck gerade auch nichts (studiere auf ital, deshalb vielleicht auch meine Nicht-kentniss)
lg und Danke
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Hallo Zuggel,
> > Hallo Zuggel,
> >
> > > > Da der Kandidat für die Ljapunov-Funktion an der Stelle
> > > > (0,0)
> > > > ein striktes lokales Minimum haben muß, kannst
> Du
> > hier
> > > > bestimmte Funktionen schon ausschliessen.
> > > >
> > >
> > > Definiert hier das Wort "strikt" irgendetwas was du mir
> > > sagen willst, ich aber nicht verstehe?
> >
> >
> > In einer Umgebung des Punktes (0,0) darf es kein
> > weiteres Punktepaar geben, das den Wert 0 annimmt.
> >
> >
> > >
> > > Gut, ich würde hier vorschlagen ich untersuche für meine
> > > 3 Funktionen die Jacobi Matrix (habe ich bereits bevor ich
> > > den Eintrag geschrieben habe versucht, hier das Problem
> > > dabei):
> > >
> > > [mm]J(V)=\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & -4 }[/mm] -> Eigenwerte positiv und
> > > negativ. Also kein Minimum. Ist das dann eigtl. ein
> > > Sattelpunkt?
> > >
> > > [mm]J(W)=\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 4 }[/mm] -> Eigenwerte positiv, also
> > > ein Minimum in 0,0?
> > >
> > > [mm]J(Z)=\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 4 }[/mm] -> tja jetzt habe ich mein
> > > Problem...
> > >
> > > Welche Funktion ist nun geeignet, W und Z? Laut Lösung wie
> > > gesagt nur Z...
> >
> >
> > Wenn Du die orbitale Ableitung
> > für diese Funktionen bildest, dann stellst Du fest, daß
> > beide orbitalen Ableitungen stets [mm]\le 0[/mm] sind.
> >
> > Meines Erachtens ist Z nur aus Vereinfachungsgründen
> > gewählt worden.
>
> Ok. Jedenfalls, orbitale Abeltiung, Trotz versuch zu
> Verstehen was hier auf Wikipedia gemeint ist, wärst du so
> freundlich mir hier zu zeigen anhand von W oder Z, was mit
> orbitaler Ableitung gemeint ist. Mir sagt der Ausdruck
> gerade auch nichts (studiere auf ital, deshalb vielleicht
> auch meine Nicht-kentniss)
>
Das DGL-System
[mm]x'=y[/mm]
[mm]y'=-y*(1+sin(x) $ )+y^2\cdot{}(1+cos(x) )-x+x^3[/mm]
läßt sich auffassen als
[mm]\pmat{x' \\ y'}=f\left(x,y\right)[/mm]
Dann ist die orbitale Ableitung definiert als das
Skalarprodukt von f und W bzw. Z:
[mm][/mm] bzw. [mm][/mm]
Wobei grad W definiert ist als: [mm]\operatorname{grad}W:=\pmat{\bruch{\partial W}{\partial x} \\ \bruch{\partial W}{\partial y}}[/mm]
Für grad Z ist das analog:[mm]\operatorname{grad}Z:=\pmat{\bruch{\partial Z}{\partial x} \\ \bruch{\partial Z}{\partial y}}[/mm]
>
> lg und Danke
Gruss
MathePower
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