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| Aufgabe | [mm] L_n [/mm] = [mm] L_{n-1} [/mm] + [mm] L_{n-2}
[/mm]
[mm] L_0 [/mm] = 2
[mm] L_1 [/mm] = 1
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Hallo,
ich soll die geschlossene Formel für die oben genannte Rekursionsgleichung finden.
Mein Weg:
Lösung für homogene Gleichung:
L(n) = c * [mm] x^{n} [/mm] ( habe hier jetzt L(n) statt [mm] L_n [/mm] , find ich irgendwie besser so)
Dann muss gelten:
c [mm] *x^{n} [/mm] = [mm] c*x^{n-1} [/mm] + [mm] c*x^{n-2} [/mm] | : [mm] x^{n-1}
[/mm]
[mm] x^{2} [/mm] = x +1
[mm] x^{2} [/mm] -x -1 = 0
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{1-\wurzel{5}}{2}
[/mm]
Damit habe ich zwei Lösungen
L(n) = [mm] c_1 [/mm] * [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n}
[/mm]
L(n) = [mm] c_2 [/mm] * [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}
[/mm]
[mm] c_1 [/mm] , [mm] c_2 \in \IR
[/mm]
Jetzt muss ich [mm] c_1 [/mm] bzw. [mm] c_2 [/mm] berechnen
Hier mache ich Gebrauch von den Randbedingungen
[mm] L_0 [/mm] = 2
[mm] L_1 [/mm] = 1
2 = [mm] c_1 [/mm] * [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{0}
[/mm]
2 = [mm] c_1
[/mm]
1 = [mm] c_2 [/mm] * [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{1}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{ \bruch{1-\wurzel{5}}{2}} [/mm] = [mm] c_2
[/mm]
Also:
L(n) = 2 * [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{ \bruch{1-\wurzel{5}}{2}})^{n}
[/mm]
Ich bitte um Kontrolle der Rechnung.
Vielen Dank im Voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Mi 15.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum nicht meinen Rat beflt und mal direkt und mit deiner Forme L2,L3,L4 ausgerechnet?.
(aber wenigstens bis zum Ende gerechnet, danke)
leider noch ein Fehler:
dein allgemeines L(n)=c1*x1+c2*x2
darein musst du L(0) und L(1) einsetzen um c1 und c2 zu bestimmen.
du kannst nicht erwarten, dass man [mm] L_o [/mm] mit c1 alleine und c1 mit L2 alleine haben kann, welches c wäre denn dann für [mm] L_2??
[/mm]
2 Gl mit 2 Unbekannten!
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Mi 15.01.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo,
danke Leduart für die Korrektur.
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