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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:11 Sa 23.06.2012 | | Autor: | mili03 |
| Aufgabe | Sei g stetige und beschränkte Funktion und [mm] X_n,X [/mm] Zufallsvariablen.
Zeigen Sie, dass aus [mm] X_n\to [/mm] X (nach Wahrscheinlichkeit) folgt, dass [mm] f(X_n)\to [/mm] f(x) nach [mm] L^p.
[/mm]
(hierbei ist p>0) |
Hallo,
nehmen [mm] \varepsilon>0 [/mm] und setzen [mm] A=\{|X_n-X|<\varepsilon\}.
[/mm]
Dann gilt [mm] (|g|\le [/mm] C)
[mm] \mathbb{E}|g(X_n)-g(X)|^p=\mathbb{E}\underbrace{|g(X_n)-g(X)|^p}_{\le 2^pC^p}\chi_{A^c}+\mathbb{E}|g(X_n)-g(X)|^p\chi_{A}
[/mm]
[mm] \le 2^pC^p \underbrace {P(|X_n-X|\ge\varepsilon)}_{\to0,n\to\infty}+\mathbb{E}|g(X_n)-g(X)|^p\chi_{A}
[/mm]
Das Problem ist der zweite Ausdruck. Für den gilt wegen der Indikatorfunktion [mm] |X_n-X|<\varepsilon. [/mm] Jetzt bräuchte ich aber gleichmäßige Stetigkeit um gut abschätzen zu können. Vorausgesetzt ist aber nur Stetigkeit. Versteht ihr was ich meine?
Wäre für Hilfe dankbar.
Gruß, mili
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Hallo,
> Sei g stetige und beschränkte Funktion und [mm]X_n,X[/mm]
> Zufallsvariablen.
> Zeigen Sie, dass aus [mm]X_n\to[/mm] X (nach Wahrscheinlichkeit)
> folgt, dass [mm]f(X_n)\to[/mm] f(x) nach [mm]L^p.[/mm]
>
> (hierbei ist p>0)
> Hallo,
>
> nehmen [mm]\varepsilon>0[/mm] und setzen [mm]A=\{|X_n-X|<\varepsilon\}.[/mm]
> Dann gilt [mm](|g|\le[/mm] C)
>
> [mm]\mathbb{E}|g(X_n)-g(X)|^p=\mathbb{E}\underbrace{|g(X_n)-g(X)|^p}_{\le 2^pC^p}\chi_{A^c}+\mathbb{E}|g(X_n)-g(X)|^p\chi_{A}[/mm]
>
> [mm]\le 2^pC^p \underbrace {P(|X_n-X|\ge\varepsilon)}_{\to0,n\to\infty}+\mathbb{E}|g(X_n)-g(X)|^p\chi_{A}[/mm]
>
> Das Problem ist der zweite Ausdruck. Für den gilt wegen
> der Indikatorfunktion [mm]|X_n-X|<\varepsilon.[/mm] Jetzt bräuchte
> ich aber gleichmäßige Stetigkeit um gut abschätzen zu
> können. Vorausgesetzt ist aber nur Stetigkeit. Versteht
> ihr was ich meine?
Skizze: Nimm noch eine Indikatorfunktion dazu [mm] \mathbbm{1}_{|X|\le N}.
[/mm]
Auf [-N,N] ist f glm. stetig und [mm] $P(|X|\ge [/mm] N)$ ist klein für N groß.
Damit kannst du die Erwartungswerte geeignet abschätzen.
LG
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> Wäre für Hilfe dankbar.
>
> Gruß, mili
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