Lotto 3 Richtige m. Zusatzzahl < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:09 Di 30.09.2014 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Berechne die Wahrscheinlichkeit für 3 Richtige mit Zusatzzahl.
Deutsches Lotto, d.h. 6 aus 49, wird vorausgesetzt. |
Moin!
Ich habe verschiedene Lösungsideen, weiß aber nicht welche davon richtig ist, und warum!
1. Idee
Ich ziehe zunächst 6 Kugeln. davon sind 3 "richtig".
[mm] \bruch{\vektor{6 \\ 3}*\vektor{43 \\ 3}}{\vektor{49 \\ 6}} [/mm] = 0,01765
Dann ziehe ich eine weitere Kugel... und diese Kugel habe ich getippt... da ich noch drei bisher nichtgezogene Kugeln getippt habe...
[mm] \bruch{\vektor{3 \\ 1}\vektor{40 \\ 0}}{\vektor{43 \\ 1}} [/mm] =0,06977
0,01765*0,06977 = 0,00123
2. Idee
Nachdem ich 6 Kugeln gezogen habe, von denen drei "richtig" waren... multipliziere ich das Ganze mit [mm] \bruch{3}{43}
[/mm]
[mm] 0,01765*\bruch{3}{43} [/mm] = 0,00123
3. Idee
Ich ziehe im Prinzip insgesamt 7 Kugeln...
3 Richtige, 1 Zusatzzahl (richtig) und 3 Nieten.
[mm] \bruch{\vektor{6 \\ 3}*\vektor{3 \\ 1}*\vektor{40 \\ 3}}{\vektor{49 \\ 7}}
[/mm]
= 0,00690
Was ich auch nicht verstehe... es werden doch insgesamt 7 Kugeln gezogen. Oder nicht?
6 "reguläre" und danach eine Zusatzzahl.
Wieso darf ich dann mit 6 Kugeln rechnen???
4. Idee
Insgesamt ziehe ich 7 Kugeln, davon habe ich 3+1 getippt, die anderen 3 nicht.
[mm] \bruch{\vektor{6 \\ 4}*\vektor{43 \\ 3}}{\vektor{49 \\ 7}}
[/mm]
= 0,00215
???
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:05 Di 30.09.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo hase-hh!
Vorweg: Ich habe nur die Terme überprüft und sie nicht in den Taschenrechner eingegeben.
Ich gehe davon aus, dass du gerundete Ergebnisse angegeben hast. Daher solltest du [mm] $\approx$ [/mm] anstelle von $=$ schreiben.
> 1. Idee
>
> Ich ziehe zunächst 6 Kugeln. davon sind 3 "richtig".
>
>
> [mm]\bruch{\vektor{6 \\ 3}*\vektor{43 \\ 3}}{\vektor{49 \\ 6}}[/mm]
> = 0,01765
>
> Dann ziehe ich eine weitere Kugel... und diese Kugel habe
> ich getippt... da ich noch drei bisher nichtgezogene Kugeln
> getippt habe...
>
>
> [mm]\bruch{\vektor{3 \\ 1}\vektor{40 \\ 0}}{\vektor{43 \\ 1}}[/mm]
> =0,06977
Edit: Meine folgende Anmerkung war völliger Quatsch.
Wie kommt die 40 zustande? Ich hätte stattdessen 42 geschrieben. Aber wegen [mm] $\binom{40}{0}=1=\binom{42}{0}$ [/mm] ändert dies nichts an der Korrektheit des Ergebnisses.
> 0,01765*0,06977 = 0,00123
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. Idee
>
> Nachdem ich 6 Kugeln gezogen habe, von denen drei "richtig"
> waren... multipliziere ich das Ganze mit [mm]\bruch{3}{43}[/mm]
>
> [mm]0,01765*\bruch{3}{43}[/mm] = 0,00123
> 3. Idee
>
> Ich ziehe im Prinzip insgesamt 7 Kugeln...
...von denen aber eine als Zusatzzahl ausgezeichnet wird.
> 3 Richtige, 1 Zusatzzahl (richtig) und 3 Nieten.
>
>
> [mm]\bruch{\vektor{6 \\ 3}*\vektor{3 \\ 1}*\vektor{40 \\ 3}}{\vektor{49 \\ 7}}[/mm]
>
> = 0,00690
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier nimmst du [mm] $\binom{49}{7}$ [/mm] mögliche Ausgänge der Ziehung an. Du siehst als möglichen Ausgang also z.B. $5,12,13,22,25,31,40$ an. Daran kannst du aber gar nicht ablesen, welche der 7 Zahlen die Zusatzzahl ist und somit gar nicht entscheiden, ob 3 Richtige mit Zusatzzahl vorliegen. Daher ist diese Modellierung nicht geeignet, die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
> Was ich auch nicht verstehe... es werden doch insgesamt 7
> Kugeln gezogen. Oder nicht?
>
> 6 "reguläre" und danach eine Zusatzzahl.
>
>
> Wieso darf ich dann mit 6 Kugeln rechnen???
Bei deinen ersten beiden Ideen hast du die Ziehung korrekt als zweistufiges Zufallsexperiment modelliert: Die erste Stufe besteht in der Ziehung von 6 Kugeln und die zweite Stufe in der Ziehung einer Kugel aus den verbleibenden 43 Kugeln. Dann hast du korrekt zunächst die Wahrscheinlichkeit berechnet, in der ersten Stufe genau 3 richtige Kugeln zu ziehen.
> 4. Idee
>
> Insgesamt ziehe ich 7 Kugeln, davon habe ich 3+1 getippt,
> die anderen 3 nicht.
>
> [mm]\bruch{\vektor{6 \\ 4}*\vektor{43 \\ 3}}{\vektor{49 \\ 7}}[/mm]
>
> = 0,00215
Gleicher Fehler wie bei deiner 3. Idee.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:33 Di 30.09.2014 | | Autor: | hase-hh |
Moin Tobias,
vielen Dank!
> > 1. Idee
> >
> > Ich ziehe zunächst 6 Kugeln. davon sind 3 "richtig".
> >
> >
> > [mm]\bruch{\vektor{6 \\ 3}*\vektor{43 \\ 3}}{\vektor{49 \\ 6}}[/mm]
> > = 0,01765
> >
> > Dann ziehe ich eine weitere Kugel... und diese Kugel habe
> > ich getippt... da ich noch drei bisher nichtgezogene Kugeln
> > getippt habe...
> >
> >
> > [mm]\bruch{\vektor{3 \\ 1}\vektor{40 \\ 0}}{\vektor{43 \\ 1}}[/mm]
> > =0,06977
> Wie kommt die 40 zustande? Ich hätte stattdessen 42
> geschrieben. Aber wegen [mm]\binom{40}{0}=1=\binom{42}{0}[/mm]
> ändert dies nichts an der Korrektheit des Ergebnisses.
Nachdem ich 6 Kugeln gezogen habe, befinden sich in der Trommel noch 43 Kugeln. Davon sind gem. Aufgabenstellung
(noch) 3 Kugeln, die ich getippt habe
und also (noch) 40 Kugeln, die ich nicht getippt habe.
Viele Grüße!
> > 0,01765*0,06977 = 0,00123
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:05 Mi 01.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Nachdem ich 6 Kugeln gezogen habe, befinden sich in der
> Trommel noch 43 Kugeln. Davon sind gem. Aufgabenstellung
>
> (noch) 3 Kugeln, die ich getippt habe
> und also (noch) 40 Kugeln, die ich nicht getippt habe.
Danke für die Aufklärung! Du hast völlig recht, meine entsprechende Anmerkung war Blödsinn. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Di 30.09.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Berechne die Wahrscheinlichkeit für 3 Richtige mit
> Zusatzzahl.
>
> Deutsches Lotto, d.h. 6 aus 49, wird vorausgesetzt.
>
> Moin!
>
> Ich habe verschiedene Lösungsideen, weiß aber nicht
> welche davon richtig ist, und warum!
>
>
> 1. Idee
>
> Ich ziehe zunächst 6 Kugeln. davon sind 3 "richtig".
>
>
> [mm]\bruch{\vektor{6 \\ 3}*\vektor{43 \\ 3}}{\vektor{49 \\ 6}}[/mm]
> = 0,01765
>
> Dann ziehe ich eine weitere Kugel... und diese Kugel habe
> ich getippt... da ich noch drei bisher nichtgezogene Kugeln
> getippt habe...
>
>
> [mm]\bruch{\vektor{3 \\ 1}\vektor{40 \\ 0}}{\vektor{43 \\ 1}}[/mm]
> =0,06977
>
> 0,01765*0,06977 = 0,00123
>
>
> 2. Idee
>
> Nachdem ich 6 Kugeln gezogen habe, von denen drei "richtig"
> waren... multipliziere ich das Ganze mit [mm]\bruch{3}{43}[/mm]
>
> [mm]0,01765*\bruch{3}{43}[/mm] = 0,00123
>
>
> 3. Idee
>
> Ich ziehe im Prinzip insgesamt 7 Kugeln...
>
> 3 Richtige, 1 Zusatzzahl (richtig) und 3 Nieten.
>
>
> [mm]\bruch{\vektor{6 \\ 3}*\vektor{3 \\ 1}*\vektor{40 \\ 3}}{\vektor{49 \\ 7}}[/mm]
>
> = 0,00690
>
>
> Was ich auch nicht verstehe... es werden doch insgesamt 7
> Kugeln gezogen. Oder nicht?
>
> 6 "reguläre" und danach eine Zusatzzahl.
>
>
> Wieso darf ich dann mit 6 Kugeln rechnen???
>
>
> 4. Idee
>
> Insgesamt ziehe ich 7 Kugeln, davon habe ich 3+1 getippt,
> die anderen 3 nicht.
>
> [mm]\bruch{\vektor{6 \\ 4}*\vektor{43 \\ 3}}{\vektor{49 \\ 7}}[/mm]
>
> = 0,00215
>
>
> ???
Dass nur die ersten beiden Varianten richtig sind, wurde ja schon geschrieben.
Vielleicht noch eine weitere Vorgehensweise:
1) Zusatzzahl wählen ... da gibt es nur eine Möglichkeit
2) Aus den 6 Richtigen werden genau 3 gewählt
3) aus den 42 verbleibénden zahlen (49 - 6 Richtige - 1 Zufallszahl) werden die restlichen zwei Zahlen gewählt.
Damit ergibt sich
[mm] $\br{1*\vektor{6 \\ 3}*\vektor{42 \\ 2}}{\vektor{49 \\ 6}}=\br{205}{166474}\approx{0,12314 \%}$
[/mm]
Gruß RMix
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