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| Aufgabe | Ein Losverkäufer bei einer Tombola gibt an, dass jedes fünfte Los gewinnt.
a) Frau Maier kauft 10 Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die I) genau zwei Preise II) mindestens einen Preis gewinnt.
b) Wie viele Lose muss sie kaufen, damit sie mit 99% Wahrscheinlichkeit mindestens einen Gewinn erhält?
c) Herr Huber kauft 100 Lose. Darunter sind 15 Gewinne. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, so viel oder weniger Preise zu gewinnen? (Rechne mit Normalverteilung)
d) Gib mit Hilfe der Normalverteilung einen Bereich [µ-d;µ+d] an, in dem mit 95%iger Wahrscheinlichkeit die Anzahl der Gewinne liegt! |
a) I.) P= [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
=> [mm] \vektor{10 \\ 2}=\bruch{10!}{2!*8!}*\bruch{1}{5}^2*\bruch{4}{5}^8 [/mm] = 45*0,04*0,16777216
=0,301989888 ~ 30,2%
[mm] II.\vektor{10 \\ 0}= \bruch{10!}{10!*0!}*\bruch{1}{5}^0*\bruch{4}{5}^{10} [/mm] = 1*1*0,107374182 Das ist nun die Wahrscheinlichkeit keinen Preis zu erhalten. Nun die Gegenwahrscheinlichkeit: 1-0,107374182= 0,892625818
~89,26%
b) Bei b wäre meine ursprüngliche Idee die Approximation mittels Normalverteilung, doch die Laplace Bedingung wäre ja nicht erfüllt, also frage ich mich vor allem, wie ich b) lösen kann.
c) Der Erwartungswert µ = [mm] 100*\bruch{1}{5}=20
[/mm]
Die Standardabweichung sigma = [mm] \wurzel{100*\bruch{1}{5}*\bruch{4}{5}}=4
[/mm]
[mm] z=\bruch{15-20}{4}=-1,25
[/mm]
Nach Tabelle ist hi (-1,25)=0,1056 =10,56%
d)1,96= [mm] \bruch{x-20}{4}
[/mm]
x= 20 [mm] \pm [/mm] 7,84
Meine Idee zu b)
Nach Normalverteilungstabelle: 99%ige Wahrscheinlichkeit ca. 2,325, da aber mehr als 1 Gewinn -2,325
µ= [mm] x*\bruch{1}{5}
[/mm]
sigma= [mm] \wurzel{x*\bruch{1}{5}*\bruch{4}{5}}
[/mm]
Nun in die Formel der Normalverteilung einsetzen.
[mm] -2,325=\bruch{1-\bruch{1}{5}x}{0,4\wurzel{x}}
[/mm]
Umstellen:
[mm] -0,93*\wurzel{x}=1-0,2*x
[/mm]
Dies ergibt eine binomische Formel:
x1,2 [mm] =\bruch{0,93 \pm \wurzel{0,93^2-4*(-1)*0,2}}{0,4}
[/mm]
[mm] =\bruch{0,93 \pm 1,29031004}{0,4}
[/mm]
x1=5,550775101
x2 wäre negativ, also unsinnig.
Somit müsste man mindestens 6 Lose kaufen.
Stimmen meine Überlegungen? Und wie löse ich b)?
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo,
> Ein Losverkäufer bei einer Tombola gibt an, dass jedes
> fünfte Los gewinnt.
> a) Frau Maier kauft 10 Lose. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass die I) genau zwei Preise II)
> mindestens einen Preis gewinnt.
> b) Wie viele Lose muss sie kaufen, damit sie mit 99%
> Wahrscheinlichkeit mindestens einen Gewinn erhält?
> c) Herr Huber kauft 100 Lose. Darunter sind 15 Gewinne.
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, so viel oder weniger
> Preise zu gewinnen? (Rechne mit Normalverteilung)
> d) Gib mit Hilfe der Normalverteilung einen Bereich
> [µ-d;µ+d] an, in dem mit 95%iger Wahrscheinlichkeit die
> Anzahl der Gewinne liegt!
> a) I.) P= [mm]\bruch{1}{5}[/mm]
> => [mm]\vektor{10 \\ 2}=\bruch{10!}{2!*8!}*\bruch{1}{5}^2*\bruch{4}{5}^8[/mm]
> = 45*0,04*0,16777216
> =0,301989888 ~ 30,2%
Das ist völlig falsch notiert, stimmt aber ansonsten. Und du würdest uns echt das Leben leichter machen, wenn du auf solche Dinge ein wenig mehr achten würdest. Der eine oder andere Zeilenabstand hat in diesem Zusammenhang auch noch nie geschadet. 
> [mm]II.\vektor{10 \\ 0}= \bruch{10!}{10!*0!}*\bruch{1}{5}^0*\bruch{4}{5}^{10}[/mm]
> = 1*1*0,107374182 Das ist nun die Wahrscheinlichkeit
> keinen Preis zu erhalten. Nun die Gegenwahrscheinlichkeit:
> 1-0,107374182= 0,892625818
> ~89,26%
Viel zu kompliziert gemacht, falsch notiert aber auch richtig:
[mm] P(B)=1-\left(\bruch{4}{5}\right)^{10}\approx{0.893}
[/mm]
>
> b) Bei b wäre meine ursprüngliche Idee die Approximation
> mittels Normalverteilung, doch die Laplace Bedingung wäre
> ja nicht erfüllt, also frage ich mich vor allem, wie ich
> b) lösen kann.
Meinst du n*p*(1-p)>9? Selbst wenn, es wäre hier dennoch der falsche Ansatz. Stelle eine Ungleichung für die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses auf und löse diese per Logarithmus. Die Aufgabe ist ein Klassiker, sie kommt derzeit sehr häufig in Abiaufgaben vor.
>
> c) Der Erwartungswert µ = [mm]100*\bruch{1}{5}=20[/mm]
> Die Standardabweichung sigma =
> [mm]\wurzel{100*\bruch{1}{5}*\bruch{4}{5}}=4[/mm]
> [mm]z=\bruch{15-20}{4}=-1,25[/mm]
> Nach Tabelle ist hi (-1,25)=0,1056 =10,56%
Ja (bis auf falsche Rundung am Ende). Und für Korrektoren nachvollziehbarer schreibe in Zukunft
[mm] P(X\le{15})=\Phi(-1.25)=1-\Phi(1.25)=0.1057
[/mm]
>
> d)1,96= [mm]\bruch{x-20}{4}[/mm]
> x= 20 [mm]\pm[/mm] 7,84
>
> Meine Idee zu b)
> Nach Normalverteilungstabelle: 99%ige Wahrscheinlichkeit
Es geht aber um 95%!
> ca. 2,325, da aber mehr als 1 Gewinn -2,325
> µ= [mm]x*\bruch{1}{5}[/mm]
> sigma= [mm]\wurzel{x*\bruch{1}{5}*\bruch{4}{5}}[/mm]
> Nun in die Formel der Normalverteilung einsetzen.
> [mm]-2,325=\bruch{1-\bruch{1}{5}x}{0,4\wurzel{x}}[/mm]
> Umstellen:
> [mm]-0,93*\wurzel{x}=1-0,2*x[/mm]
> Dies ergibt eine binomische Formel:
> x1,2 [mm]=\bruch{0,93 \pm \wurzel{0,93^2-4*(-1)*0,2}}{0,4}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{0,93 \pm 1,29031004}{0,4}[/mm]
> x1=5,550775101
> x2 wäre negativ, also unsinnig.
>
> Somit müsste man mindestens 6 Lose kaufen.
>
> Stimmen meine Überlegungen?
nein, dein Lösungsansatz zu d) ist falsch. Hier musst du mit einem Ansatz der Form
[mm]P(20-x
und der Normalverteilung mit den obigen Parametern arbeiten. Ansatz zu b) steht oben!
Gruß, Diophant
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