Lokales Extremum 2dimensional < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 So 13.05.2012 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich soll bei 2 Funktionen die lokalen Extrema mit Hilfe des Leibniz-Krit für innere Extrema berechnen.
[mm] f(x,y)=x^2+y^4-y^2 [/mm]
fx(x,y)=2x
fxx(x,y)=2
[mm] fy(x,y)=4y^3-2y [/mm]
[mm] fyy(x,y)=12y^2-2 [/mm]
und fxy=fyx=0
In einen Buch habe ich gefunden ,was man unter dem Leibniz-Krit versteht:
fx(a)=0
fy(a)=0
[mm] f_{xx}(a) f_{yy}(a) [/mm] - [mm] f_{xy}(a) [/mm] ^2 > 0 lok. Max
[mm] f_{xx}(a) f_{yy}(a) [/mm] - [mm] f_{xy}(a) [/mm] ^2 > 0 lok. Min
[mm] f_{xx}(a) f_{yy}(a) [/mm] - [mm] f_{xy}(a) [/mm] ^2 < 0 Sattelpunkt
[mm] f_{xx}(a) f_{yy}(a) [/mm] - [mm] f_{xy}(a) [/mm] ^2 = 0 keine Aussage
Ich weiß jetzt nur nicht wie ich weiter vorgehen soll und was bei meinen Bsp a ist?
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Hallo,
zunächst finde ich es ziemlich schade, dass die gängigen Formregeln nicht eingehalten werden. Es wirkt ziemlich unübersichtlich. Für den Eingangspost gibt es nicht umsonst ein Feld für die Aufgabenstellung. Dann gibt es Formeln, die nicht als Formeln dargestellt worden. Echt schade.
Ok, nun zu deinem Problem.
Im Prinzip hast du ja schon alles hingeschrieben.
[mm] f_x(x,y)=2x [/mm]
muss null ergeben. Also für welche Zahlen klappt das?
[mm] f_y(x,y)=4y^3-2y [/mm]
muss ebenfalls null ergeben.
Dabei ist es notwendig, dass die Stellen übereinstimmen. Stellt das hier ein Problem dar? Nein, denn beide Funktionen hängen jeweils nur von einer Variable ab.
z.B. a=(0,0) ist eine Lösung. Gibt es noch weitere? Wenn ja, welche?
Jetzt hast du einen potentiellen Kandidaten für eine Extremstelle. Das a setzt du dann in die Formel ein und schaust, welche Relation gilt.
=> $ [mm] f_{xx}(a) f_{yy}(a) [/mm] $ - $ [mm] f_{xy}(a) [/mm] ^2 =... $
Dies entspricht übrigens der Determinante der Hessematrix.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 So 13.05.2012 | | Autor: | racy90 |
Naja für [mm] f_y(x,y)=4y^3-2y [/mm] ergibt sich noch y=+- [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
das müsste es gewesen sein d.h ich habe 3 Punkte zu kontrollieren : (0,0) , [mm] (0,\bruch{1}{\wurzel{2}}) [/mm] und [mm] (0,-\bruch{1}{\wurzel{2}})
[/mm]
und nur für [mm] (0,\bruch{1}{\wurzel{2}}) [/mm] ist die Bedinung erfüllt und da f_xx > 0 ist liegt ein Minimum vor
Stimmt das?
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> Naja für [mm]f_y(x,y)=4y^3-2y[/mm] ergibt sich noch y=+-
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
Genau.
>
> das müsste es gewesen sein d.h ich habe 3 Punkte zu
> kontrollieren : (0,0) , [mm](0,\bruch{1}{\wurzel{2}})[/mm] und
> [mm](0,-\bruch{1}{\wurzel{2}})[/mm]
Genau.
>
> und nur für [mm](0,\bruch{1}{\wurzel{2}})[/mm] ist die Bedinung
> erfüllt und da f_xx > 0 ist liegt ein Minimum vor
>
> Stimmt das?
[mm] \vmat{ 2 & 0 \\ 0 & 12*y^2-2 }=\vmat{ 2 & 0 \\ 0 & 12*(-\wurzel{\bruch{1}{2}} )^2-2}=\vmat{ 2 & 0 \\ 0 & 12*\bruch{1}{2} -2}=\vmat{ 2 & 0 \\ 0 & 4}=8>0
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 So 13.05.2012 | | Autor: | racy90 |
okay viele danke vorerst mal, ich glaube für solche Funktionen habe ich es verstanden aber wie sieht es zb mit f(x,y)=sin(x)sin(y) aus??
[mm] f_x(x,y)=cos(x)sin(y)
[/mm]
[mm] f_{xx}(x,y)=-sin(x)sin(y)
[/mm]
[mm] f_{xy}(x,y)=cos(x)cos(y)
[/mm]
[mm] f_y(x,y)=sin(x)cos(y)
[/mm]
[mm] f_{yy}(x,y)=-sin(x)sin(y)
[/mm]
Nun hängen die 2 Variablen von einander ab
[mm] f_x=cos(x)sin(y)=0
[/mm]
Aber nun gibt es ja unendlich viele Nullstellen für x wäre es ja [mm] x=\pi*n-\bruch{\pi}{2}
[/mm]
für [mm] y=\pi*n [/mm] oder y=0
Was soll ich nun in [mm] f_y=sin(x)cos(y) [/mm] einsetzen damit ich mir die andere Variable ausrücken kann.
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Zunächst: Super, du zeigst Initiative. Schön, dass du die part. Ableitungen schon gebildet hast.
> okay viele danke vorerst mal, ich glaube für solche
> Funktionen habe ich es verstanden aber wie sieht es zb mit
> f(x,y)=sin(x)sin(y) aus??
>
> [mm]f_x(x,y)=cos(x)sin(y)[/mm]
> [mm]f_{xx}(x,y)=-sin(x)sin(y)[/mm]
> [mm]f_{xy}(x,y)=cos(x)cos(y)[/mm]
>
> [mm]f_y(x,y)=sin(x)cos(y)[/mm]
> [mm]f_{yy}(x,y)=-sin(x)sin(y)[/mm]
>
>
> Nun hängen die 2 Variablen von einander ab
> [mm]f_x=cos(x)sin(y)=0[/mm]
Das ist auch kein großes Problem. Erst einmal nur für eine Stelle.
[mm] f_x(x,y)=0=cos(x)sin(y) [/mm] <=> [mm] x=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] f_y(\bruch{\pi}{2},y)=0=sin(\bruch{\pi}{2})cos(y)=1*cos(y) [/mm] <=> [mm] y=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Kandidat für eine Extremstelle: [mm] (\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2})
[/mm]
Dieser Punkt sei nun zu überprüfen.
>
> Aber nun gibt es ja unendlich viele Nullstellen für x
> wäre es ja [mm]x=\pi*n-\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> für [mm]y=\pi*n[/mm] oder y=0
Richtig, nun gibt es aber unzählige Nullstellen.
Diese Lösung enhält Fehler, wird aber im Verlauf des Threads gefunden. Man muss zwischenden k unterscheiden, weil beide voneinander unabhängig sind. Um die Gedankenstruktur beizubehalten ändere ich diese Antwort jedoch nicht!
[mm] f_x(x,y)=0=cos(x)sin(y) [/mm] <=> [mm] x=\bruch{\pi}{2}+k*\pi
[/mm]
[mm] f_y(\bruch{\pi}{2}+k*\pi,y)=0=sin(\bruch{\pi}{2}+k*\pi)cos(y)=\pm1*cos(y) [/mm] <=> [mm] y=\bruch{\pi}{2}+k\pi
[/mm]
Jetzt wieder in die Matrix einsetzen, und die Determininate bestimmen. Da merkt man dann auch, dass für gerade und ungerade k etwas verschiedenes passiert. Und was?
>
> Was soll ich nun in [mm]f_y=sin(x)cos(y)[/mm] einsetzen damit ich
> mir die andere Variable ausrücken kann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 So 13.05.2012 | | Autor: | racy90 |
Ich bekomme aber für gerade k und ungerade k immer die selber Determinate
zb k=1 --> [mm] x=\bruch{3\pi}{2} y=\bruch{3\pi}{2}
[/mm]
eingesetzt in [mm] f_{xx} ,f_{xy} [/mm] und [mm] f_{yy} [/mm] ergibt jeweils dann für xx=-1,xy=0 und yy=-1
für k=2 --> [mm] x=\bruch{5\pi}{2} y=\bruch{5\pi}{2} [/mm] ergibt ebenfalls dieselbe Determinante
Habe ich einen Fehler gemacht?
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[mm] \vmat{ f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\ f_{xy}(x,y) & f_{yy}(x,y) }=\vmat{ f_{xx}(\bruch{\pi}{2}+k\cdot{}\pi,\bruch{\pi}{2}+k\cdot{}\pi) & f_{xy}(\bruch{\pi}{2}+k\cdot{}\pi,\bruch{\pi}{2}+k\cdot{}\pi) \\ f_{xy}(\bruch{\pi}{2}+k\cdot{}\pi,\bruch{\pi}{2}+k\cdot{}\pi) & f_{yy}(\bruch{\pi}{2}+k\cdot{}\pi,\bruch{\pi}{2}+k\cdot{}\pi) }=\vmat{ -sin(\bruch{\pi}{2}+k\cdot{}\pi)sin(\bruch{\pi}{2}+k\cdot{}\pi) & cos(\bruch{\pi}{2}+k\cdot{}\pi)cos(\bruch{\pi}{2}+k\cdot{}\pi) \\ cos(\bruch{\pi}{2}+k\cdot{}\pi)cos(\bruch{\pi}{2}+k\cdot{}\pi) & -sin(\bruch{\pi}{2}+k\cdot{}\pi)sin(\bruch{\pi}{2}+k\cdot{}\pi) }
[/mm]
[mm] =\vmat{ -sin(\bruch{\pi}{2}+k\cdot{}\pi)sin(\bruch{\pi}{2}+k\cdot{}\pi) & 0 \\ 0 & -sin(\bruch{\pi}{2}+k\cdot{}\pi)sin(\bruch{\pi}{2}+k\cdot{}\pi) }=1
[/mm]
=> Alles richtig gemacht.
Nun gilt aber: Ist [mm] f_{xx}(x_0,y_0)>0, [/mm] dann hat f bei [mm] (x_0,y_0) [/mm] ein rel. Minimum. Für [mm] f_{xx}(x_0,y_0)<0 [/mm] ein rel. Maximum.
Und hier sieht man
[mm] Extremstelle=\begin{cases} Maximum, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ Minimum, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 So 13.05.2012 | | Autor: | racy90 |
Das ist mir schon bewusst
> Nun gilt aber: Ist [mm]f_{xx}(x_0,y_0)>0,[/mm] dann hat f bei
> [mm](x_0,y_0)[/mm] ein rel. Minimum. Für [mm]f_{xx}(x_0,y_0)<0[/mm] ein rel.
> Maximum.
> Und hier sieht man
Aber mir kommt egal ob das k gerade oder ungerade ist -1 für [mm] f_{xx} [/mm] heraus und das stimmt ja nicht.
zb k=1 [mm] x=y=\bruch{3\pi}{2} [/mm] --> [mm] -sin(\bruch{3\pi}{2})sin(\bruch{3\pi}{2})=-1
[/mm]
k=2 [mm] x=y=\bruch{5\pi}{2} [/mm] somit wieder -1
Sonst wäre alles klar
>
> [mm]Extremstelle=\begin{cases} Maximum, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ Minimum, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
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Entschuldige!
Das war ein Fehler von mir. Man muss natürlich zwischen den k unterscheiden.
Nimm für [mm] y=\bruch{\pi}{2}+k_2\pi [/mm] und dann kommt heraus:
[mm] f_{xx}(\bruch{\pi}{2}+k_1\pi,\bruch{\pi}{2}+k_2\pi)=-sin(\bruch{\pi}{2}+k_1\pi)sin(\bruch{\pi}{2}-k_2\pi))
[/mm]
Und das ergibt dann je nachdem wie man [mm] k_1 [/mm] und [mm] k_2 [/mm] wählt die entsprechenden Vorzeichen.
Entschuldige bitte noch einmal meinen Fehler.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 So 13.05.2012 | | Autor: | racy90 |
Vielen dank !!
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