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Hallo,
Meine Aufgabe:
Lokale Lösung Für t>0 ist das AWP
x ´ = tx², [mm] x(t_0)=x_0
[/mm]
gegeben. Lösen Sie das AWP für [mm] t_0=0, x_0=1 [/mm] und [mm] t_0=1,x_0=-2 [/mm] und zeigen Sie, dass der Definitionsbereich der jeweiligen Lösung abhängig ist von den Anfangswerten.
mein Problem ist das ich nicht weis was man von mir will!
Ich versuchs durch lösen in die allg. form durch trennung der
variabeln:
[mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] = tx²
[mm] \integral(\bruch{1}{x²} )dx=\integral(t) [/mm] dt
[mm] \bruch{1}{x}=\bruch{1}{2}t^2+c [/mm] -> allg. Lösung
für AWP 1 ( [mm] t_0=0,x_0=1)
[/mm]
c=-1;
für AWP [mm] 2(t_0=1; x_0=-2)
[/mm]
c=0;
spezielle Lsg aus AWP 1:
x=- [mm] \bruch{1}{0,5t^2+1}
[/mm]
spezielle Lsg aus AWP 2:
x= [mm] -\bruch{1}{0,5t^2}
[/mm]
???
martina
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Hallo martina.m18,
> Hallo,
>
>
> Meine Aufgabe:
>
> Lokale Lösung Für t>0 ist das AWP
>
> x ´ = tx², [mm]x(t_0)=x_0[/mm]
>
> gegeben. Lösen Sie das AWP für [mm]t_0=0, x_0=1[/mm] und
> [mm]t_0=1,x_0=-2[/mm] und zeigen Sie, dass der Definitionsbereich
> der jeweiligen Lösung abhängig ist von den
> Anfangswerten.
>
> mein Problem ist das ich nicht weis was man von mir will!
>
> Ich versuchs durch lösen in die allg. form durch trennung
> der
> variabeln:
>
> [mm]\bruch{dx}{dt}[/mm] = tx²
> [mm]\integral(\bruch{1}{x²} )dx=\integral(t)[/mm] dt
>
> [mm]\bruch{1}{x}=\bruch{1}{2}t^2+c[/mm] -> allg. Lösung
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> für AWP 1 ( [mm]t_0=0,x_0=1)[/mm]
>
> c=-1;
>
> für AWP [mm]2(t_0=1; x_0=-2)[/mm]
>
> c=0;
>
> spezielle Lsg aus AWP 1:
>
> x=- [mm]\bruch{1}{0,5t^2+1}[/mm]
>
> spezielle Lsg aus AWP 2:
>
> x= [mm]-\bruch{1}{0,5t^2}[/mm]
Die speziellen Lösungen sind richtig.
Zeige nun, daß AWP 1 einen anderen Definitionsbereich als AWP 2 hat.
>
> ???
> martina
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 Sa 30.10.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo martina und mathepower,
ich stimme euch zu, aber das Vorzeichen der Konstanten bei der ersten Lösung stimmt noch nicht!
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ok danke für eure hilfe,
ich probiere es nochmal ausführlich:
x´ = [mm] tx^2
[/mm]
[mm] \bruch{dx}{dt}=tx^2
[/mm]
[mm] \integral(\bruch{1}{x^2})dx=\integral(t)dt [/mm]
[mm] -\bruch{1}{x}=\bruch{1}{2}t^2 [/mm] + c
allg. Lösung:
[mm] x_(t)=-\bruch{1}{0,5t^2 + c}
[/mm]
AWP I [mm] (t_0 [/mm] = 0, [mm] x_0=1)
[/mm]
AWP II [mm] (t_0=1, x_0=-2)
[/mm]
spezielle Lsg. für
AWP 1:
eingesetzt in die allg. Lsg ergibt sich für AWP1: c=-1
und AWP2:c=0
daraus folgen die speziellen Lsg. meiner AWP´s
[mm] x_(I_)=-\bruch{1}{0,5t^2-1}
[/mm]
AWP 2:
[mm] x_(II_)=-\bruch{1}{0,5t^2}
[/mm]
dh. doch für AWP1 gilt t>0 und [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \wurzel{2} [/mm] und es gilt für AWP2 t>0 und [mm] \in\IR
[/mm]
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> ok danke für eure hilfe,
>
> ich probiere es nochmal ausführlich:
>
> x´ = [mm]tx^2[/mm]
> [mm]\bruch{dx}{dt}=tx^2[/mm]
> [mm]\integral(\bruch{1}{x^2})dx=\integral(t)dt[/mm]
> [mm]-\bruch{1}{x}=\bruch{1}{2}t^2[/mm] + c
>
> allg. Lösung:
> [mm]x_(t)=-\bruch{1}{0,5t^2 + c}[/mm]
>
> AWP I [mm](t_0[/mm] = 0, [mm]x_0=1)[/mm]
> AWP II [mm](t_0=1, x_0=-2)[/mm]
>
> spezielle Lsg. für
> AWP 1:
> eingesetzt in die allg. Lsg ergibt sich für AWP1: c=-1
> und AWP2:c=0
> daraus folgen die speziellen Lsg. meiner AWP´s
> [mm]x_(I_)=-\bruch{1}{0,5t^2-1}[/mm]
> AWP 2:
> [mm]x_(II_)=-\bruch{1}{0,5t^2}[/mm]
>
>
> dh. doch für AWP1 gilt t>0 und [mm]\in \IR[/mm]\[mm]\wurzel{2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> und es gilt für AWP2 t>0 und [mm]\in\IR[/mm]
Hallo martina,
die Lösungsfunktionen stimmen. Bei deren Definitionsbereichen
muss aber berücksichtigt werden, dass diese zusammenhängend
sein müssen (man darf die Lösungsfunktion z.B. nicht über eine
Polstelle hinweg ziehen).
Am besten schaust du dir dazu die Graphen der Funktionen an.
Für AWP1 ist jedoch t>0 keine notwendige Bedingung - sie würde
ja sogar den Startpunkt (t=0, x=1) ausschließen !
Der Wert t=2 gehört aber z.B. nicht zum Definitionsbereich
der Lösungsfunktion zu AWP1 .
LG Al-Chw.
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Hallo Al-Chw,
vielen Dank für deine Bearbeitung.
Ich habe mir beide Funktionen ausgeben lassen.
Die Funktion von AWP1 ist
x= [mm] -1/(0,5t^2-1)
[/mm]
dh. doch dann das mein Nenner nicht 0 werden darf und das tut meine Funktion nur wenn ich für [mm] t=\wurzel{2} [/mm] einsetzte. dh. doch eigentlich
das für meinen Definitionsbereich gilt
t [mm] \in [/mm] R \ [mm] \wurzel{2} [/mm] und - [mm] \wurzel{2}
[/mm]
und für AWP 2
t [mm] \in [/mm] R \ 0
denn wenn ich auch mir die beiden Lösungsfunktionen ausgeben lasse,
sehe ich exact 3 Polstellen bei t= [mm] \wurzel{2}, -\wurzel{2} [/mm] und für die 0.
vielen dank,
bitte nachprüfen wo mein denkfehler liegt
lg martina
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Hallo martina.m18,
> Hallo Al-Chw,
>
> vielen Dank für deine Bearbeitung.
>
> Ich habe mir beide Funktionen ausgeben lassen.
>
> Die Funktion von AWP1 ist
>
> x= [mm]-1/(0,5t^2-1)[/mm]
>
> dh. doch dann das mein Nenner nicht 0 werden darf und das
> tut meine Funktion nur wenn ich für [mm]t=\wurzel{2}[/mm]
> einsetzte. dh. doch eigentlich
> das für meinen Definitionsbereich gilt
>
> t [mm]\in[/mm] R \ [mm]\wurzel{2}[/mm] und - [mm]\wurzel{2}[/mm]
[mm]D_{1}=\IR \setminus \left\{-\wurzel{2},+\wurzel{2}\right\}[/mm]
>
> und für AWP 2
>
> t [mm]\in[/mm] R \ 0
>
[mm]D_{2}=\IR \setminus \left\{0\right\}[/mm]
Die Definitionsbereiche sind ok.
> denn wenn ich auch mir die beiden Lösungsfunktionen
> ausgeben lasse,
> sehe ich exact 3 Polstellen bei t= [mm]\wurzel{2}, -\wurzel{2}[/mm]
> und für die 0.
Die ersten zwei Polstellen sind Polstellen
der Lösungsfunktion aus AWP 1
Die dritte Polstelle ist Polstelle
der Lösungsfunktion zu AWP 2.
>
> vielen dank,
> bitte nachprüfen wo mein denkfehler liegt
> lg martina
Gruss
MathePower
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> > Die Funktion von AWP1 ist
> >
> > x= [mm]-1/(0,5t^2-1)[/mm]
> >
> > dh. doch dann das mein Nenner nicht 0 werden darf und das
> > tut meine Funktion nur wenn ich für [mm]t=\wurzel{2}[/mm]
> > einsetzte. dh. doch eigentlich
> > das für meinen Definitionsbereich gilt
> >
> > t [mm]\in[/mm] R \ [mm]\wurzel{2}[/mm] und - [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
>
> [mm]D_{1}=\IR \setminus \left\{-\wurzel{2},+\wurzel{2}\right\}[/mm]
>
>
> >
> > und für AWP 2
> >
> > t [mm]\in[/mm] R \ 0
> >
>
>
> [mm]D_{2}=\IR \setminus \left\{0\right\}[/mm]
>
>
> Die Definitionsbereiche sind ok.
Hallo MathePower,
hier stellt sich aber eine wichtige Frage: Was ist denn
hier bei diesem Anfangswertproblem mit "Definitionsbereich"
überhaupt gemeint ? Natürlich ist (ohne diesen Kontext) der
Definitionsbereich der Funktion [mm] $x:t\mapsto\ -\,\frac{1}{0.5\,t^2-1}$
[/mm]
die Menge [mm]D\ =\ \IR \setminus \left\{-\wurzel{2},+\wurzel{2}\right\}[/mm]
Diese Menge besteht aus 3 Intervallen, welche vonein-
ander durch Stellen abgetrennt sind, an welchen die
zu behandelnde Funktion nicht einmal definiert ist.
Eine Integration in einem Anfangswertproblem kann
nicht über eine solche Stelle hinweg fortgesetzt werden.
Deshalb bleibt für den Definitionsbereich für die Lösungs-
funktion des vorliegenden Anfangswertproblems AWP1 nur
das mittlere der drei Intervalle übrig, nämlich jenes, in
welchem sich der Startwert t=0 befindet.
Für AWP2 muss man sich (auch wieder für die Lösungsfunktion
des AWP) auf die Menge der positiven t - Werte beschränken.
LG Al-Chwarizmi
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Guten Tag Martina
> Ich versuchs durch lösen in die allg. form durch trennung
> der
> variabeln:
>
> [mm]\bruch{dx}{dt}[/mm] = tx²
> [mm]\integral(\bruch{1}{x²} )dx=\integral(t)[/mm] dt ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Leider erscheint der erste Integrand falsch, nämlich [mm] \frac{1}{x}
[/mm]
anstatt [mm] \frac{1}{x^2} [/mm] , weil du den Tastatur-Exponenten 2 benützt hast
anstatt die korrekte TeX-Schreibweise !
> [mm]\bruch{1}{x}=\bruch{1}{2}t^2+c[/mm]
Vorzeichen !
LG Al-Chw.
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