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| Aufgabe | Die Funktion f: [-3,3] --> R sei definiert durch
[mm] f(x)=\begin{cases} 2-(x+2)^2, & \mbox{für } -3 \le x < -2 \\ 2 , & \mbox{für } -2 \le x < 0 \\ 2+x^2 , & \mbox{für } 0 \le x < 1 \\ (2-x)^2 , & \mbox{für } 1 \le x \le 2 \\ x-1 , & \mbox{für } 2 < x \le 3 \end{cases}
[/mm]
a) Skizieren sie die Funktion
b) Geben Sie an ob die Funktion in den Punkten x= -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum vorliegt |
Hi
Ich bräuchte mal nochmal eure Hilfe.
zu a) Ich hab die Funktion skizziert: Kann ich jetzt leider hier nicht zeigen
zu b)
x=-3 lokales Minimum
x=-2 lokales Maximum
x=-1 lokales Maximum und lokales Minimum
x= 0 lokales Minimum
x= 1
Hier weiß ich es nicht, da die Funktion nicht stetig ist. Ich würde sagen, weil die 1 zu [mm] (2-x)^2 [/mm] gehört, dass hier weder ein Maximun noch ein Minimum vorliegt. Entscheidet hier das [mm] \le [/mm] Zeichen?
x= 2
Hier weiß ich es auch nicht, da die Funktion hier auch nicht stetig ist.
Hier würde ich sagen, dass ein lokales Minimum vorliegt, da für x=2 [mm] f(x)=(2-x)^2 [/mm] gilt
x= 3 lokales Maximum
LG
Yannick
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Hallo,
> Die Funktion f: [-3,3] --> R sei definiert durch
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 2-(x+2)^2, & \mbox{für } -3 \le x < -2 \\ 2 , & \mbox{für } -2 \le x < 0 \\ 2+x^2 , & \mbox{für } 0 \le x < 1 \\ (2-x)^2 , & \mbox{für } 1 \le x \le 2 \\ x-1 , & \mbox{für } 2 < x \le 3 \end{cases}[/mm]
>
> a) Skizieren sie die Funktion
> b) Geben Sie an ob die Funktion in den Punkten x= -3, -2,
> -1, 0, 1, 2, 3 ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum
> vorliegt
> zu a) Ich hab die Funktion skizziert: Kann ich jetzt leider
> hier nicht zeigen
Hier ist eines:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> zu b)
>
> x=-3 lokales Minimum
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(sogar striktes lokales Minimum)
> x=-2 lokales Maximum
(aber kein striktes)
> x=-1 lokales Maximum und lokales Minimum
(aber jeweils nicht strikt)
> x= 0 lokales Minimum
(aber nicht strikt)
> x= 1
> Hier weiß ich es nicht, da die Funktion nicht stetig ist.
> Ich würde sagen, weil die 1 zu [mm](2-x)^2[/mm] gehört, dass hier
> weder ein Maximun noch ein Minimum vorliegt. Entscheidet
> hier das [mm]\le[/mm] Zeichen?
Ja, es entscheidet das [mm] $\le$-Zeichen.
[/mm]
Das hängt an der Definition dieser lokalen Extremstellen: Da muss ja jeweils $f(x) [mm] \le f(x_0)$ [/mm] bzw. $f(x) [mm] \ge f(x_0)$ [/mm] in einer Umgebung von [mm] $x_0$ [/mm] sein, damit eine Extremstelle in [mm] $x_0$ [/mm] vorliegt.
Du untersuchst [mm] $x_0 [/mm] = 1$.
Daher entscheidet der Funktionswert [mm] $f(x_0) [/mm] = f(1) = 1$.
Und wie du richtig feststellst, gibt es in jeder Umgebung von [mm] $x_0 [/mm] = 1$ sowohl Funktionswerte, die größer als auch kleiner als [mm] $f(x_0) [/mm] = 1$ sind.
Es liegt also weder lokales Minimum noch lokales Maximum vor.
> x= 2
> Hier weiß ich es auch nicht, da die Funktion hier auch
> nicht stetig ist.
> Hier würde ich sagen, dass ein lokales Minimum vorliegt,
> da für x=2 [mm]f(x)=(2-x)^2[/mm] gilt
Hier ist f(2) = 0.
(Besser so aufschreiben, als schreiben: "da für x = 2 gilt: f(x) = [mm] (2-x)^2 [/mm] ")
Wie du richtig feststellst, liegt damit ein lokales Minimum (sogar strikt) vor, weil alle Funktionswerte in der Umgebung von [mm] $x_0 [/mm] = 2$ größer als [mm] $f(x_0) [/mm] = 0$ sind.
> x= 3 lokales Maximum
(sogar strikt)
Viele Grüße,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Stefan,
Danke für deine Tipps. Du hast mir sehr geholfen;)
LG
Yannick
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