Lokale Extrema bestimmen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Fr 27.02.2009 | | Autor: | Tobias2k |
| Aufgabe | Bestimmen Sie (lokale) Extrema der Funktion:
[mm] f(x)=x^2*e^{-x} [/mm] |
Notwendige Bedingung für einen Extremwert an der Stelle
f'(x)=0
Erste Ableitung der Funktion bestimmen.
[mm] u=x^2==>u'=2x
[/mm]
[mm] v=e^{-x} [/mm] ==> [mm] v'=-e^{-x}
[/mm]
[mm] f'(x)=2x*e^{-x}-e^{-x}*x^2
[/mm]
[mm] e^{-x} [/mm] ausklammern.
[mm] f'(x)=e^{-x}(2x*1-1*x^2)
[/mm]
[mm] f'(x)=e^{-x}(2x-x^2)
[/mm]
f'(x)=0
[mm] e^{-x}(2x-x^2 [/mm] )=0
[mm] e^{-x} [/mm] kann niemals 0 werden. Sollte der Wert in der Klammer 0 werden ist das Ergebnis auch gleich 0.
[mm] (2x-x^2 [/mm] )=0
[mm] 2x=x^2
[/mm]
2=x
Zweite Ableitung der Funktion bestimmen.
[mm] f'(x)=e^{-x}(2x-x^2)
[/mm]
[mm] u=2x-x^2==>u'=2-2x
[/mm]
[mm] v=e^{-x}==>v'=-e^{-x}
[/mm]
[mm] f''(x)=-e^{-x}*2x-x^2+2-2x*e^{-x}
[/mm]
[mm] f''(x)=e^{-x}*(-1*2x-x^2+2-2x*1)
[/mm]
[mm] f''(x)=e^{-x}*(-2x+x^2+2-2x)
[/mm]
[mm] f''(x)=e^{-x}*(-4x+x^2+2)
[/mm]
Hinreichende Bedingung für Extremwert an der Stelle x:
f''(x) >0 Minimum an x
f''(x) <0 Maximum an x
[mm] f''(2)=e^{-2}*(-4*2+2^2+2)
[/mm]
f''(2)=-0,27
Maximum bei (2|0)
Irgendwie sieht es so aus als hätte ich einen Fehler gemacht? Seht ihr evtl etwas?
MFG Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Fr 27.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tobias!
> Muss ich jetzt noch die 0 die in zweite Ableitung einsetzen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja.
> Wie komme ich genau an die Punkte des Maximums?
Du meinst den Funktionswert? Setze den x-Wert $x \ = \ 2$ (und auch $x \ = \ 0$) in die Ausgangsfunktion $f(x) \ = \ [mm] x^2*e^{-x}$ [/mm] ein.
Gruß
Loddar
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![[stop]](/images/smileys/stop.gif "[stop]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Wie kommst Du auf diesen Funktionswert?
