Lokale Extrema < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Di 26.01.2010 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Sei die Funktion f: Q [mm] \to \IR [/mm] (,wobei Q das Quadrat mit den Eckpunkten [mm] \{ (0,0), (\pi /2, 0), (\pi /2, \pi /2), (0, \pi /2)\} [/mm] in [mm] \IR^2 [/mm] ist,) gegeben durch f(x,y)= sin(x) + sin(y) +sin (x+y).
Bestimmen Sie die lokalen Extrema. |
Hallo,
Also zunächst mal hab ich den Gradienten bestimmt, das ist [mm] \nabla [/mm] f(x,y) = [mm] \vektor{cos(x) + cos(x+y) \\ cos (y)+cos(x+y)}.
[/mm]
Diesen hab ich = [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] gesetzt und kam somit auf lediglich einen kritischen Punkt, der als lokales Extremum in Frage käme, nämlich [mm] P(\pi [/mm] /3, [mm] \pi [/mm] /3). Frag mich hier bereits ob das bereits alle kritischen Punkte sind, bei denen der Gradient = [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] werden.
Dann hab ich die Hessematrix aufgerechnet: Hf(x,y)= [mm] \pmat{ -sin(x) -sin(x+y) & -sin(x+y) \\ -sin(x+y) & -sin(y) -sin(x+y) }. [/mm] Dann den Punkt eingesetzt komm ich auf [mm] \pmat{ -\wurzel{3} & \bruch{-\wurzel{3}}{2} \\ \bruch{-\wurzel{3}}{2} & -\wurzel{3} } [/mm] und somit auf die Eigenwerte: [mm] \lambda_{1,2} [/mm] = [mm] -\wurzel{3} \pm \bruch{\wurzel{3}}{2}. [/mm] Da diese beide negativ sind, liegt bei [mm] f(\pi [/mm] /3, [mm] \pi [/mm] /3) ein lokales Maximum vor.
Stimmt das soweit?
Falls ja frag ich mich, wie ich nun noch die sogenannten Randpunkte von f auf lokale Extrema untersuchen könnte, hier bin ich nun ziemlich ratlos...
Vielen Dank schon mal im voraus.
Viele Grüße
|
|
| |
|
Hallo ms2008de,
> Sei die Funktion f: Q [mm]\to \IR[/mm] (,wobei Q das Quadrat mit
> den Eckpunkten [mm]\{ (0,0), (\pi /2, 0), (\pi /2, \pi /2), (0, \pi /2)\}[/mm]
> in [mm]\IR^2[/mm] ist,) gegeben durch f(x,y)= sin(x) + sin(y) +sin
> (x+y).
> Bestimmen Sie die lokalen Extrema.
> Hallo,
>
> Also zunächst mal hab ich den Gradienten bestimmt, das ist
> [mm]\nabla[/mm] f(x,y) = [mm]\vektor{cos(x) + cos(x+y) \\ cos (y)+cos(x+y)}.[/mm]
>
> Diesen hab ich = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] gesetzt und kam somit auf
> lediglich einen kritischen Punkt, der als lokales Extremum
> in Frage käme, nämlich [mm]P(\pi[/mm] /3, [mm]\pi[/mm] /3). Frag mich hier
> bereits ob das bereits alle kritischen Punkte sind, bei
> denen der Gradient = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] werden.
> Dann hab ich die Hessematrix aufgerechnet: Hf(x,y)= [mm]\pmat{ -sin(x) -sin(x+y) & -sin(x+y) \\ -sin(x+y) & -sin(y) -sin(x+y) }.[/mm]
> Dann den Punkt eingesetzt komm ich auf [mm]\pmat{ -\wurzel{3} & \bruch{-\wurzel{3}}{2} \\ \bruch{-\wurzel{3}}{2} & -\wurzel{3} }[/mm]
> und somit auf die Eigenwerte: [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = [mm]-\wurzel{3} \pm \bruch{\wurzel{3}}{2}.[/mm]
> Da diese beide negativ sind, liegt bei [mm]f(\pi[/mm] /3, [mm]\pi[/mm] /3)
> ein lokales Maximum vor.
> Stimmt das soweit?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Falls ja frag ich mich, wie ich nun noch die sogenannten
> Randpunkte von f auf lokale Extrema untersuchen könnte,
> hier bin ich nun ziemlich ratlos...
Hier hältst Du eine Variable fest, die andere läßt Du laufen.
Untersuche f auf der Geraden durch [mm]\left(0,0\right)[/mm] und [mm]\left(0,\bruch{\pi}{2}\right)[/mm]:
Die Parameterisierung der Geraden lautet dann:
[mm]\pmat{x \\ y}=\pmat{0 \\ 0 }+ t*\pmat{0 \\ \bruch{\pi}{2}}[/mm]
Untersuche hier dann [mm]f\left(0, t*\bruch{\pi}{2}\right), \ 0 \le t \le 1[/mm]
auf eventuelle Extrema, wobei auch hier
die Randpunkte zu untersuchen sind.
>
> Vielen Dank schon mal im voraus.
>
> Viele Grüße
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Di 26.01.2010 | | Autor: | ms2008de |
> Hallo ms2008de,
>
> > Sei die Funktion f: Q [mm]\to \IR[/mm] (,wobei Q das Quadrat mit
> > den Eckpunkten [mm]\{ (0,0), (\pi /2, 0), (\pi /2, \pi /2), (0, \pi /2)\}[/mm]
> > in [mm]\IR^2[/mm] ist,) gegeben durch f(x,y)= sin(x) + sin(y) +sin
> > (x+y).
> > Bestimmen Sie die lokalen Extrema.
> > Hallo,
> >
> > Also zunächst mal hab ich den Gradienten bestimmt, das ist
> > [mm]\nabla[/mm] f(x,y) = [mm]\vektor{cos(x) + cos(x+y) \\ cos (y)+cos(x+y)}.[/mm]
>
> >
> > Diesen hab ich = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] gesetzt und kam somit auf
> > lediglich einen kritischen Punkt, der als lokales Extremum
> > in Frage käme, nämlich [mm]P(\pi[/mm] /3, [mm]\pi[/mm] /3). Frag mich hier
> > bereits ob das bereits alle kritischen Punkte sind, bei
> > denen der Gradient = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] werden.
> > Dann hab ich die Hessematrix aufgerechnet: Hf(x,y)=
> [mm]\pmat{ -sin(x) -sin(x+y) & -sin(x+y) \\ -sin(x+y) & -sin(y) -sin(x+y) }.[/mm]
> > Dann den Punkt eingesetzt komm ich auf [mm]\pmat{ -\wurzel{3} & \bruch{-\wurzel{3}}{2} \\ \bruch{-\wurzel{3}}{2} & -\wurzel{3} }[/mm]
> > und somit auf die Eigenwerte: [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = [mm]-\wurzel{3} \pm \bruch{\wurzel{3}}{2}.[/mm]
> > Da diese beide negativ sind, liegt bei [mm]f(\pi[/mm] /3, [mm]\pi[/mm] /3)
> > ein lokales Maximum vor.
> > Stimmt das soweit?
>
>
> Ja.
>
>
> > Falls ja frag ich mich, wie ich nun noch die sogenannten
> > Randpunkte von f auf lokale Extrema untersuchen könnte,
> > hier bin ich nun ziemlich ratlos...
>
>
> Hier hältst Du eine Variable fest, die andere läßt Du
> laufen.
>
> Untersuche f auf der Geraden durch [mm]\left(0,0\right)[/mm] und
> [mm]\left(0,\bruch{\pi}{2}\right)[/mm]:
>
> Die Parameterisierung der Geraden lautet dann:
>
> [mm]\pmat{x \\ y}=\pmat{0 \\ 0 }+ t*\pmat{0 \\ \bruch{\pi}{2}}[/mm]
>
> Untersuche hier dann [mm]f\left(0, t*\bruch{\pi}{2}\right), \ 0 \le t \le 1[/mm]
>
> auf eventuelle Extrema, wobei auch hier
> die Randpunkte zu untersuchen sind.
Die Frage ist dann aber: Was hab ich davon, wenn ich die Funktion jeweils auf die 4 Geraden einschränke, die das Quadrat begrenzen und dann diese Geraden einzeln auf lokale Extrema untersuche?
Ich hatte vor kurzem die Funktion f mit f(x,y)= [mm] (y-x^2)*(y-3x^2) [/mm] von der zu zeigen war, dass f eingeschränkt auf eine beliebige Gerade [mm] g_{\alpha}= [/mm] {(x, [mm] \alpha*x)| [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] } in (0,0) ein lokales Minimum besitzt. Aber man konnte zeigen, dass f selbst in (0,0) kein lokales Minimum hat, also...?
Viele Grüße und vielen Dank nochmals bis hierhin
|
|
|
| |
|
Hallo ms2008de,
> > Hallo ms2008de,
> >
> > > Sei die Funktion f: Q [mm]\to \IR[/mm] (,wobei Q das Quadrat mit
> > > den Eckpunkten [mm]\{ (0,0), (\pi /2, 0), (\pi /2, \pi /2), (0, \pi /2)\}[/mm]
> > > in [mm]\IR^2[/mm] ist,) gegeben durch f(x,y)= sin(x) + sin(y) +sin
> > > (x+y).
> > > Bestimmen Sie die lokalen Extrema.
> > > Hallo,
> > >
> > > Also zunächst mal hab ich den Gradienten bestimmt, das ist
> > > [mm]\nabla[/mm] f(x,y) = [mm]\vektor{cos(x) + cos(x+y) \\ cos (y)+cos(x+y)}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Diesen hab ich = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] gesetzt und kam somit auf
> > > lediglich einen kritischen Punkt, der als lokales Extremum
> > > in Frage käme, nämlich [mm]P(\pi[/mm] /3, [mm]\pi[/mm] /3). Frag mich hier
> > > bereits ob das bereits alle kritischen Punkte sind, bei
> > > denen der Gradient = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] werden.
> > > Dann hab ich die Hessematrix aufgerechnet: Hf(x,y)=
> > [mm]\pmat{ -sin(x) -sin(x+y) & -sin(x+y) \\ -sin(x+y) & -sin(y) -sin(x+y) }.[/mm]
> > > Dann den Punkt eingesetzt komm ich auf [mm]\pmat{ -\wurzel{3} & \bruch{-\wurzel{3}}{2} \\ \bruch{-\wurzel{3}}{2} & -\wurzel{3} }[/mm]
> > > und somit auf die Eigenwerte: [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = [mm]-\wurzel{3} \pm \bruch{\wurzel{3}}{2}.[/mm]
> > > Da diese beide negativ sind, liegt bei [mm]f(\pi[/mm] /3, [mm]\pi[/mm] /3)
> > > ein lokales Maximum vor.
> > > Stimmt das soweit?
> >
> >
> > Ja.
> >
> >
> > > Falls ja frag ich mich, wie ich nun noch die sogenannten
> > > Randpunkte von f auf lokale Extrema untersuchen könnte,
> > > hier bin ich nun ziemlich ratlos...
> >
> >
> > Hier hältst Du eine Variable fest, die andere läßt Du
> > laufen.
> >
> > Untersuche f auf der Geraden durch [mm]\left(0,0\right)[/mm] und
> > [mm]\left(0,\bruch{\pi}{2}\right)[/mm]:
> >
> > Die Parameterisierung der Geraden lautet dann:
> >
> > [mm]\pmat{x \\ y}=\pmat{0 \\ 0 }+ t*\pmat{0 \\ \bruch{\pi}{2}}[/mm]
>
> >
> > Untersuche hier dann [mm]f\left(0, t*\bruch{\pi}{2}\right), \ 0 \le t \le 1[/mm]
>
> >
> > auf eventuelle Extrema, wobei auch hier
> > die Randpunkte zu untersuchen sind.
>
> Die Frage ist dann aber: Was hab ich davon, wenn ich die
> Funktion jeweils auf die 4 Geraden einschränke, die das
> Quadrat begrenzen und dann diese Geraden einzeln auf lokale
> Extrema untersuche?
> Ich hatte vor kurzem die Funktion f mit f(x,y)=
> [mm](y-x^2)*(y-3x^2)[/mm] von der zu zeigen war, dass f
> eingeschränkt auf eine beliebige Gerade [mm]g_{\alpha}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{(x,
> [mm]\alpha*x)|[/mm] x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} in (0,0) ein lokales Minimum
> besitzt. Aber man konnte zeigen, dass f selbst in (0,0)
> kein lokales Minimum hat, also...?
Die Geraden nehmen am Intervallanfang und -ende ihre Extrema an.
Daher sind die Randpunkte zu untersuchen.
>
> Viele Grüße und vielen Dank nochmals bis hierhin
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mi 27.01.2010 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> > >
> > > > Sei die Funktion f: Q [mm]\to \IR[/mm] (,wobei Q das Quadrat mit
> > > > den Eckpunkten [mm]\{ (0,0), (\pi /2, 0), (\pi /2, \pi /2), (0, \pi /2)\}[/mm]
> > > > in [mm]\IR^2[/mm] ist,) gegeben durch f(x,y)= sin(x) + sin(y) +sin
> > > > (x+y).
> > > > Bestimmen Sie die lokalen Extrema.
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > Also zunächst mal hab ich den Gradienten bestimmt, das ist
> > > > [mm]\nabla[/mm] f(x,y) = [mm]\vektor{cos(x) + cos(x+y) \\ cos (y)+cos(x+y)}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Diesen hab ich = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] gesetzt und kam somit auf
> > > > lediglich einen kritischen Punkt, der als lokales Extremum
> > > > in Frage käme, nämlich [mm]P(\pi[/mm] /3, [mm]\pi[/mm] /3). Frag mich hier
> > > > bereits ob das bereits alle kritischen Punkte sind, bei
> > > > denen der Gradient = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] werden.
> > > > Dann hab ich die Hessematrix aufgerechnet:
> Hf(x,y)=
> > > [mm]\pmat{ -sin(x) -sin(x+y) & -sin(x+y) \\ -sin(x+y) & -sin(y) -sin(x+y) }.[/mm]
> > > > Dann den Punkt eingesetzt komm ich auf [mm]\pmat{ -\wurzel{3} & \bruch{-\wurzel{3}}{2} \\ \bruch{-\wurzel{3}}{2} & -\wurzel{3} }[/mm]
> > > > und somit auf die Eigenwerte: [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = [mm]-\wurzel{3} \pm \bruch{\wurzel{3}}{2}.[/mm]
> > > > Da diese beide negativ sind, liegt bei [mm]f(\pi[/mm] /3, [mm]\pi[/mm] /3)
> > > > ein lokales Maximum vor.
> > > > Stimmt das soweit?
> > >
> > >
> > > Ja.
> > >
> > >
> > > > Falls ja frag ich mich, wie ich nun noch die sogenannten
> > > > Randpunkte von f auf lokale Extrema untersuchen könnte,
> > > > hier bin ich nun ziemlich ratlos...
> > >
> > >
> > > Hier hältst Du eine Variable fest, die andere läßt Du
> > > laufen.
> > >
> > > Untersuche f auf der Geraden durch [mm]\left(0,0\right)[/mm] und
> > > [mm]\left(0,\bruch{\pi}{2}\right)[/mm]:
> > >
> > > Die Parameterisierung der Geraden lautet dann:
> > >
> > > [mm]\pmat{x \\ y}=\pmat{0 \\ 0 }+ t*\pmat{0 \\ \bruch{\pi}{2}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Untersuche hier dann [mm]f\left(0, t*\bruch{\pi}{2}\right), \ 0 \le t \le 1[/mm]
>
> >
> > >
> > > auf eventuelle Extrema, wobei auch hier
> > > die Randpunkte zu untersuchen sind.
> >
> > Die Frage ist dann aber: Was hab ich davon, wenn ich die
> > Funktion jeweils auf die 4 Geraden einschränke, die das
> > Quadrat begrenzen und dann diese Geraden einzeln auf lokale
> > Extrema untersuche?
> > Ich hatte vor kurzem die Funktion f mit f(x,y)=
> > [mm](y-x^2)*(y-3x^2)[/mm] von der zu zeigen war, dass f
> > eingeschränkt auf eine beliebige Gerade
> [mm]g_{\alpha}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> {(x,
> > [mm]\alpha*x)|[/mm] x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen
> immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> } in (0,0) ein lokales Minimum
> > besitzt. Aber man konnte zeigen, dass f selbst in (0,0)
> > kein lokales Minimum hat, also...?
>
>
> Die Geraden nehmen am Intervallanfang und -ende ihre
> Extrema an.
>
> Daher sind die Randpunkte zu untersuchen.
Kann ich denn nun einfach f(0, t*\bruch{\pi}{2}) ausdrücken durch g(x)= sin(0) + sin (x) + sin(0+x)= 2 sin(x) wobei 0 \le x \le \bruch{\pi}{2}
und dann is g´(x)= 2 cos(x)
und g´´(x)= - 2 sin(x), dann würde bei (0, \bruch{\pi}{2}) ein lokales Maximum vorliegen. Wenn das stimmt, wieso ist es dann ein lokales Maximum von f? Denn bei der von mir im letzten Post auf eine beliebige Gerade eingeschränkte Funktion lag in (0,0) ein lokales Minimum vor, bei der Funktion an sich aber nicht...?
Oder muss ich von der Hessematrix von f(0, t*\bruch{\pi}{2}) die Eigenwerte ausrechnen, die wären für alle t ungleich 0 negativ und damit würde für alle Punkte (0, t*\bruch{\pi}{2}) ungleich (0,0) ein lokales Maximum vorliegen...?
Bin leider wirklich ratlos.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo ms2008de,
> >
> > Die Geraden nehmen am Intervallanfang und -ende ihre
> > Extrema an.
> >
> > Daher sind die Randpunkte zu untersuchen.
>
> Kann ich denn nun einfach f(0, [mm] t*\bruch{\pi}{2}) [/mm]
> ausdrücken durch g(x)= sin(0) + sin (x) + sin(0+x)= 2
> sin(x) wobei 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \bruch{\pi}{2}
[/mm]
> und dann is g´(x)= 2 cos(x)
> und g´´(x)= - 2 sin(x), dann würde bei (0,
> [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] ein lokales Maximum vorliegen. Wenn das
> stimmt, wieso ist es dann ein lokales Maximum von f? Denn
Weil die Funktion f in der Umgebung dieses
Punktes [mm]\left(0, \ \bruch{\pi}{2}\right)[/mm] keine größeren Werte annimmt.
> bei der von mir im letzten Post auf eine beliebige Gerade
> eingeschränkte Funktion lag in (0,0) ein lokales Minimum
> vor, bei der Funktion an sich aber nicht...?
In der Umgebung des Punktes (0,0) nimmt
die betrachtete Funktion sowohl positive
als auch negative Werte an.
> Oder muss ich von der Hessematrix von f(0,
> [mm] t*\bruch{\pi}{2}) [/mm] die Eigenwerte ausrechnen, die wären
> für alle t ungleich 0 negativ und damit würde für alle
> Punkte (0, [mm] t*\bruch{\pi}{2}) [/mm] ungleich (0,0) ein lokales
> Maximum vorliegen...?
>
> Bin leider wirklich ratlos.
>
> Viele Grüße
Gruss
MathePower
|
|
|
|
