Lokale Extrema < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Do 04.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe | Sei a [mm] \in \IR, [/mm] a > 0. Sei f : [mm] (0,\infty) \rightarrow \IR [/mm] definiert durch x [mm] \mapsto [/mm] ax − [mm] \wurzel{x}.
[/mm]
Bestimmen Sie möglichst große Intervalle, auf denen f monoton wachsend beziehungsweise
monoton fallend ist. Bestimmen Sie die lokalen Extrema von f. |
Hallo,
mit Hilfe welches Satzes kann ich möglichst große Intervalle finden oder muss ich hier nur Werte einsetzen?
Vielen Dank für Eure Hilfe, Gruß, Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Do 04.12.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
ein konkreter Satz fällt mir da jetzt nicht ein. Aber du kannst doch über die Ableitung argumentieren.
[mm] f(x)=ax-\wurzel{x}=ax-x^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] f'(x)=a-\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}=a-\bruch{1}{2\wurzel{x}}
[/mm]
f monoton wachsend, wenn $f'(x)>0$ und f monoton fallend, wenn $f'(x)<0$.
Ich würde es einmal mit dem Ansatz versuchen.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:01 Fr 05.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hi barsch,
> ein konkreter Satz fällt mir da jetzt nicht ein. Aber du
> kannst doch über die Ableitung argumentieren.
ja, das hatte ich mir auch gedacht, bin aber an dem Terminus "lokale Extrema" hängen geblieben. Denn wenn ich mir die Funktion mal ansehe, dann hat diese für jedes a>0 immer nur ein (globales) Extremum. Unter mehreren lokalen Extrema verstehe ich verschiedene Extremwerte eingegrenzt für verschiedene Intervalle, also wie beim Sinus, der hat ja auch mehrere über die gesamte Funktion verteilt, oder sehe ich das falsch?
> Ich würde es einmal mit dem Ansatz versuchen.
Vielen Dank.
Gruß, Stefan.
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> bin aber an dem
> Terminus "lokale Extrema" hängen geblieben.
Hallo,
an diesem Plural brauchst Du dich nicht aufzuhängen.
Wenn mich einer rausschickt und sagt: "sammel die runtergefallenen Äpfel auf", bringe ich auch nur einen, wenn nur einer runtergefallen ist. Und wenn keiner runtergefallen ist, gehe ich mit leerem Korb nach Haus, auch wenn im Auftrag "Äpfel" vorkam.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:29 Fr 05.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Wenn mich einer rausschickt und sagt: "sammel die
> runtergefallenen Äpfel auf", bringe ich auch nur einen,
> wenn nur einer runtergefallen ist. Und wenn keiner
> runtergefallen ist, gehe ich mit leerem Korb nach Haus,
> auch wenn im Auftrag "Äpfel" vorkam.
ja, das ist echt eine klasse Beschreibung und ein gutes Argument, wenn auch etwas verwirrend (ich meine die Aufgabenstllung ist verwirrend), aber der Plural schließt natürtlich den Singular und die leere Menge mit ein, stimmt, danke schön 
Gruß, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Fr 05.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> an diesem Plural brauchst Du dich nicht aufzuhängen.
ok, wenn ich mich nicht daran aufhänge, lautet meine Lösung wie folgt:
[mm] f'(x)=a-\bruch{1}{2\wurzel{x}}
[/mm]
das lokale Extremum ist:
[mm] f'(x_0)=0, [/mm] also:
[mm]a-\bruch{1}{2\wurzel{x_0}}=0 \gdw a=\bruch{1}{2\wurzel{x_0}} \gdw x_0=\bruch{1}{4a^2}[/mm]
Jetzt wähle ich meine Intervalle so:
[mm] I_1=(0,\bruch{1}{4a^2}] [/mm] und [mm] I_2=[\bruch{1}{4a^2},\infty)
[/mm]
Um jetzt die Monotonie nachzuweisen, zeige ich:
Monoton wachsend: wenn x < y, dann f(x) [mm] \le [/mm] f(y) und monoton fallend: wenn x < y, dann f(x) [mm] \ge [/mm] f(y). richtig?
also muss ich zeigen: x=0, [mm] y=\bruch{1}{4a^2}, [/mm] also x<y, dann f(x)=0 [mm] \ge f(\bruch{1}{4a^2})=-\bruch{1}{4a} [/mm] (monoton fallend).
und: [mm] x=\bruch{1}{4a^2} [/mm] und [mm] y=\infty, [/mm] also x<y:
[mm] f(\bruch{1}{4a^2})=-\bruch{1}{4a} [/mm] < [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}f(y)=\infty, [/mm] also f(x) [mm] \le [/mm] f(y) (monoton wachsend)
Ist das so in Ordnung?
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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Hallo,
zur Berechnung mithilfe der Ableitungen habe ich im anderen Post schon etwas gesagt.
da a>0 vorausgesetzt wurde, hast Du ein Minimum.
> Jetzt wähle ich meine Intervalle so:
> [mm]I_1=(0,\bruch{1}{4a^2}][/mm] und [mm]I_2=[\bruch{1}{4a^2},\infty)[/mm]
> Um jetzt die Monotonie nachzuweisen, zeige ich:
> Monoton wachsend: wenn x < y, dann f(x) [mm]\le[/mm] f(y) und
> monoton fallend: wenn x < y, dann f(x) [mm]\ge[/mm] f(y). richtig?
Ja, genau.
> also muss ich zeigen: x=0, [mm]y=\bruch{1}{4a^2},[/mm] also x<y,
> dann f(x)=0 [mm]\ge f(\bruch{1}{4a^2})=-\bruch{1}{4a}[/mm] (monoton
> fallend).
Nein, Du kannst nicht einfach x=0 setzen - mal ganz abgesehen von dem kleinen traurigen Detail, daß die Funktion an dieser Stelle gar nicht definiert ist, es also f(x) überhaupt nicht gibt. (f(0)=0 wie Du schreibst, stimmt nicht. Die Funktion hat ja [mm] (0,\infty) [/mm] als Definitionsbereich.)
Sondern Du mußt sagen: seine [mm] x,y\in I_1 [/mm] mit x<y.
Und dann mußt Du vorrechnen, daß wirklich f(x)> f(y), z.B. indem Du f(x)-f(y) ausrechnest.
Daß es ein Gefälle zwischen Intervallanfang und -ende gibt, reicht nicht. Da könnt# sich zwischendurch ja sonstwas ereignen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Sa 06.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Und dann mußt Du vorrechnen, daß wirklich f(x)> f(y), z.B.
> indem Du f(x)-f(y) ausrechnest.
also habe ich f(x)-f(y)>0 [mm] \gdw ax-\wurzel{x}-(ay-\wurzel{y})?
[/mm]
und dann [mm] ax-ay-\wurzel{x}+\wurzel{y}.
[/mm]
aber jetzt komme ich nicht weiter.
Danke schön nochmals, Gruß, Stefan.
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> Hallo,
> > Und dann mußt Du vorrechnen, daß wirklich f(x)> f(y),
> z.B.
> > indem Du f(x)-f(y) ausrechnest.
> also habe ich f(x)-f(y)>0 [mm]\gdw ax-\wurzel{x}-(ay-\wurzel{y})?[/mm]
>
> und dann [mm]ax-ay-\wurzel{x}+\wurzel{y}.[/mm]
> aber jetzt komme ich nicht weiter.
Hallo,
schreib' doch bitte etwas deutlicher auf, was Du gerade ausrechnen möchtest.
Dies ist erstens eine Hilfe für einen selbst, erleichtert es aber auch "Fremden" (oder welchen, die vergessen haben, worum es geht...), helfend in den Thread einzusteigen.
Du ineressierst Dich also für die Monotoniew der Funktion f(x):=ax- [mm] \wurzel{x}, [/mm] a>0, im Intervall [mm] I_1:=(0,\bruch{1}{4a^2}]. [/mm]
Du möchtest dafür für x<y die Differenz f(x)-f(y) berechnen, um herauszufinden, ob sie >0 ist.
Sei x<y , [mm] x,y\in (0,\bruch{1}{4a^2}]
[/mm]
Es ist
f(x)-f(y)= [mm] (ax-\wurzel{x}) [/mm] - [mm] (ay-\wurzel{y})
[/mm]
=a(x-y)- [mm] (\wurzel{x}-\wurzel{y}) [/mm]
[mm] =a(x-y)-\bruch{ x-y }{ (\wurzel{x}+\wurzel{y}) }
[/mm]
=(x-y) [mm] (a-\bruch{ 1 }{ (\wurzel{x}+\wurzel{y}) }
[/mm]
[mm] =\underbrace{(y-x)}_{>0}(\bruch{ 1 }{ (\wurzel{x}+\wurzel{y})} [/mm] -a).
Nun schätze die zweite Klammer ab.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Sa 06.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Angela,
> schreib' doch bitte etwas deutlicher auf, was Du gerade
> ausrechnen möchtest.
sorry, ich dachte, weil es eine Frage auf deine Antwort war, wäre es klar, worum es geht, ich werde mich bessern.
> [mm]=\underbrace{(y-x)}_{>0}(\bruch{ 1 }{ (\wurzel{x}+\wurzel{y})}[/mm]
> -a).
>
> Nun schätze die zweite Klammer ab.
muss es nicht heißen: [mm]-(y-x)(\bruch{1}{\wurzel{x}+\wurzel{y}}-a)[/mm], weil du doch das minus aus den Klammern herausnimmst, oder?
es ist a>0 und 0<x<y [mm] \le \bruch{1}{4a^2}, [/mm] x und y sind also maximal [mm] \bruch{1}{4a^2} [/mm] also [mm] \wurzel{x}+\wurzel{y} [/mm] ist dann, wenn ich [mm] x=y=\bruch{1}{4a^2} [/mm] setze: [mm] \bruch{1}{2a} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2a}=\bruch{1}{a} [/mm] und dann also [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{a}}=a, [/mm] dann a-a=0.
so ungefährt richtig?
Danke, Gruß, Stefan.
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> > [mm]=\underbrace{(y-x)}_{>0}(\bruch{ 1 }{ (\wurzel{x}+\wurzel{y})}[/mm] -a).
> >
> > Nun schätze die zweite Klammer ab.
> muss es nicht heißen:
> [mm]-(y-x)(\bruch{1}{\wurzel{x}+\wurzel{y}}-a)[/mm], weil du doch
> das minus aus den Klammern herausnimmst, oder?
Hallo,
schau mal genau hin:
wir hatten
>> =(x-y) $ [mm] (a-\bruch{ 1 }{ (\wurzel{x}+\wurzel{y}) } [/mm] )$,
und nun habe ich in beiden Klammern gleichzeitig getauscht:
[mm] \underbrace{(y-x)}_{>0}(\bruch{ 1 }{ (\wurzel{x}+\wurzel{y})} [/mm] -a)
> es ist a>0 und 0<x<y [mm]\le \bruch{1}{4a^2},[/mm] x und y sind
> also maximal [mm]\bruch{1}{4a^2}[/mm] also [mm]\wurzel{x}+\wurzel{y}[/mm] ist
> dann, wenn ich [mm]x=y=\bruch{1}{4a^2}[/mm] setze: [mm]\bruch{1}{2a}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2a}=\bruch{1}{a}[/mm] und dann also
> [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{a}}=a,[/mm] dann a-a=0.
>
> so ungefährt richtig?
Ja, entscheidend ist, daß [mm] (\bruch{ 1 }{ (\wurzel{x}+\wurzel{y})} [/mm] -a) > a-a ist,
und damit hast Du dann f(x)-f(y)>0.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 Sa 06.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> schau mal genau hin:
>
> wir hatten
>
> >> =(x-y) [mm](a-\bruch{ 1 }{ (\wurzel{x}+\wurzel{y}) } )[/mm],
>
> und nun habe ich in beiden Klammern gleichzeitig
> getauscht:
>
> [mm]\underbrace{(y-x)}_{>0}(\bruch{ 1 }{ (\wurzel{x}+\wurzel{y})}[/mm]
> -a)
ja, natürlich, danke schön, hatte ich übersehn, Gruß, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Fr 05.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
gut, die Extrema bekomme ich mit der ersten Ableitung, ok.
> f monoton wachsend, wenn [mm]f'(x)>0[/mm] und f monoton fallend,
> wenn [mm]f'(x)<0[/mm].
ich darf im Falle der Monotonie hier nicht die Ableitung benutzen, da wir dies noch nicht in Zusammenhang gesetzt haben. Ich muss hier anders argumentieren. Aber wie? Muss ich durch Ausprobieren die unteren und oberen Grenzen des Intervalls herausfinden, also mit dem Argument:
wenn x<y, dann f(x)<f(y), bzw. alles mit ">". Kann man das lokale Extremum als Intervallgrenze nehmen? Müsste doch gehen, oder?
Danke schön, Gruß, Stefan.
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> Hallo,
> gut, die Extrema bekomme ich mit der ersten Ableitung,
> ok.
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> > f monoton wachsend, wenn [mm]f'(x)>0[/mm] und f monoton fallend,
> > wenn [mm]f'(x)<0[/mm].
> ich darf im Falle der Monotonie hier nicht die Ableitung
> benutzen,
Hallo,
wenn Ihr noch nicht differenziert, darfst Du Differentiation weder für die Extrema noch für die Monotonie verwenden - es sei denn, ganz heimlich auf einem Schmierzettel.
Ich würde so vorgehen: heimlich auf dem Schmierzettel kannst Du ja die Monotonieintervalle feststellen, z.B. unter Zuhilfenahme der Differentialrechnung.
Die gewonnenen Erkenntnisse präsentierst Du als Behauptung.
Und dann beweist Du diese Behauptungen mit den Dir erlaubten Mitteln.
Für "monoton wachsend" mußt Du vorrechnen, wie aus [mm] x_1
Fallend entsprechend.
Die Dir vorliegende Funktion ist stetig.
An den "Nahtstellen" der Monotoniebereiche gibt's Extremwerte.
Die Extremwerteigenschaft und die Art des Extremums beweist Du dann wieder mit erlaubten Mitteln. Extremwert hat ja zunächst einmal überhaupt nichts mit Ableitung zu tun.
Du mußt Dich hierbei auf die Definition besinnen.
Gruß v. Angela
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Hallo,
> wenn Ihr noch nicht differenziert, darfst Du
> Differentiation weder für die Extrema noch für die
> Monotonie verwenden - es sei denn, ganz heimlich auf einem
> Schmierzettel.
doch, differenzieren schon, also die Extrema darf ich schon so berechnen, aber es gibt keinen Satz oder ein Korollar, dass vom Vorzeichen der Ableitung auf die Monotonie schließen lässt.
> Für "monoton wachsend" mußt Du vorrechnen, wie aus [mm]x_1
> folgt, daß [mm]f(x_1)< f(x_2).[/mm]
ok, aber wie setze ich denn nun meine Intervalle? wenn ich schon nicht x=0 nehmen darf (ok, leuchtet ein), aber dann ist doch auf jeden Fall die Ableitung an der Stelle 0 ein Extremum (das darf ich schließen) und vor und nach diesen Werten muss sich etwas mit der Monotonie tun, oder? Also von fallend auf wachsend, das kann ich doch zeigen, indem x<y und für [mm] x=x_0 [/mm] und y=f'(x)=0 für [mm] I_1 [/mm] und für [mm] I_2 [/mm] dann x=f'(x)=0 und für [mm] y=\infty [/mm] nehme, dann f(x) [mm] \ge [/mm] f(y) bzw. f(x) [mm] \le [/mm] f(y), oder ist das völlig falsch?
Danke und schöne Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Sa 06.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> doch, differenzieren schon, also die Extrema darf ich
> schon so berechnen, aber es gibt keinen Satz oder ein
> Korollar, dass vom Vorzeichen der Ableitung auf die
> Monotonie schließen lässt.
Es folgt (auf nicht-ganz-triviale Weise) aus dem Mittelwertsatz. Habt ihr den schon gehabt?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Sa 06.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Robert,
> Es folgt (auf nicht-ganz-triviale Weise) aus dem
> Mittelwertsatz. Habt ihr den schon gehabt?
nein, den hatten wir leider noch nicht. Der hätte auch woanders schon helfen können.
Gruß, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 So 07.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Astor |
ich würde die 1. Ableitung berechnen und das Vorzeichen der 1. Ableitung bestimmen. In den Bereichen, in denen das Vorzeichen negativ ist, fällt die Funktion. In den Bereichne, in denen das Vorzeichen positiv ist, wächst die Funktion.
Also [mm]f(x)=ax-\wurzel{x}[/mm]
[mm]f'(x)=a-\frac{1}{2*\wurzel{x}}[/mm]
Bestimme die Nullstelle der 1. Ableitung. Links von der Nullstelle ist die 1. Ableitung negativ und rechts davon positiv. Die Nullstelle musst du noch ausrechen. Diese Aussage überprüfen.
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