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| Aufgabe | Es sei U [mm] \subset \IR^n [/mm] offen und f: U [mm] \to \IR^m [/mm] sei in allen Punkten x [mm] \in [/mm] U total differenzierbar mit Df(x)=0
a) Zeige, dass f lokal konstant ist, d.h. dass es für jeden Punkt x [mm] \in [/mm] U eine Umgebung V [mm] \subset [/mm] U von x gibt, so dass f auf V konstant ist. |
Das habe ich jetzt mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen versucht:
Sei [mm] \gamma \in \IR^n [/mm] so, dass x+t [mm] \gamma, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1 liegt. Dann gilt:
f(x+ [mm] \gamma) [/mm] -f(x)= [mm] (\integral_{0}^{1}{Df(x+t\gamma) dt})\gamma
[/mm]
Df(x)=0, d.h.
[mm] f(x+\gamma)-f(x)= (\integral_{0}^{1}{0dt})\gamma [/mm] = 0
[mm] \gdw f(x+\gamma)=f(x)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] f ist konstant
kann man das so machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:37 Do 20.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Deine Idee ist gut, Deine Ausführungen sind schlampig und ungenau.
Ist x [mm] \in [/mm] U, so gibt es eine offene Kugel V um x mit V [mm] \subseteq [/mm] U.
Jetzt nehmen wir 2 Punkte a und b aus V her. Die Verbindungsstrecke von a un b liegt in V.
Der Mittelwertsatz und die Vor. an die Ableitung von f liefern:
f(a)=f(b).
Damit ist f auf V konstant.
FRED
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