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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:59 Fr 18.04.2014 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Leiten Sie die u.g. Formel für das logistische Wachstum her.
f(t) = [mm] \bruch{a*S}{a+(S-a)*e^{-S*k*t}}
[/mm]
mit
Anfangswert a = f(0)
Sättigungsgrenze S
Sättigungsmanko S - a
Fragen siehe unten! |
Moin, Moin!
Ich stelle zunächst die Schritte, die ich gefunden habe dar, und stelle dann meine Fragen...
Teil 1 der zu beschreibenden logistischen Funktion folgt dem exponentiellen Wachstum
und die momentane Änderungsrate bzw. die Wachstumsgeschwindigkeit ist proportional zum momentanen Bestand:
f ' (t) = k*f(t)
Teil 2 der zu beschreibenden logistischen Funktion folgt dem begrenzten Wachstum
und die momentane Änderungsrate bzw. die Wachstumsgeschwindigkeit ist proportional zur momentanen Sättigungsgrenze:
Anmerkung: Dabei ist das Sättigungsmanko, der Betrag, der bis zur Sättigungsgrenze noch fehlt.
f ' (t) = k*(S - f(t))
Für ein logistisches Wachstum folgt wegen der Proportionalitäten
f ' (x) = k*f(t)*(S-f(t))
Ist es richtig, dass k in den jeweiligen Formeln einen anderen Wert hat / haben kann?
Falls nicht, müsste die logistische Funktion dann nicht mit [mm] k^2 [/mm] beginnen?
Weiter.
f(t) = [mm] \bruch{a*S}{a+(S-a)*e^{-S*k*t}}
[/mm]
Herleitung...
f ' (t) = k*f(t)*(S-f(t))
1. Eine Stammfunktion von [mm] \bruch{f '(t)}{f(t)} [/mm] ist [mm] \integral_{0}^{t}{ \bruch{f ' (z) }{f(z)} dz}
[/mm]
= [ ln (f(z)) ] von null bis t = ln(t) - ln(0) = ln [mm] (\bruch{f(t)}{f(0)})
[/mm]
Uffz.
2. Umformung von f ' (t) = k*f(t)*(S-f(t)) nach k
[mm] \bruch{f ' (t)}{f(t)*(S-f(t))} [/mm] = k
bzw.
[mm] f'(t)*\bruch{1}{f(t)*(S-f(t))} [/mm] = k
Jetzt folgt die Zerlegung des Bruches [mm] \bruch{1}{f(t)*(S-f(t))} [/mm] in Partialbrüche (das nehme ich einfach mal so hin!)
[mm] \bruch{1}{f(t)*(S-f(t))} [/mm] = [mm] \bruch{A}{f(t)} [/mm] + [mm] \bruch{B}{S-f(t)}
[/mm]
...
A*S =1 und B=A
A = B = [mm] \bruch{1}{S}
[/mm]
3. Das Ergebnis wird jetzt wieder in die vollständige Gleichung eingesetzt d.h. mit Berücksichtigung von f ' (t) als Faktor...
[mm] \bruch{1}{S}*\bruch{f '(t)}{f(t)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{S}*\bruch{f ' (t)}{S-f(t)} [/mm] = k
Diese Gleichung soll nun integriert werden:
[mm] \integral_{0}^{t}{\bruch{1}{S}*\bruch{f '(z)}{f(z)} dz} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{t}{\bruch{1}{S}*\bruch{f ' (z)}{S-f(z)} dz} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{t}{k dz}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{S}*[ln(f(z))] [/mm] von 0 bis t - [mm] \bruch{1}{S}*[ln(S-f(z))] [/mm] von 0 bis t = k*t
Den letzten Schritt habe ich nicht verstanden.
Warum ist eine Stammfunktion von [mm] \bruch{f ' (z)}{S - (f(z))} [/mm]
ln(S-f(z)) ? Kann mir das jemand erklären?
Und wie entsteht hier eigentlich das Minuszeichen?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:59 Sa 19.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Hase,
> Den letzten Schritt habe ich nicht verstanden.
>
> Warum ist eine Stammfunktion von [mm]\bruch{f ' (z)}{S - (f(z)}[/mm]
>
>
> ln(S-f(z)) ? Kann mir das jemand erklären?
>
> Und wie entsteht hier eigentlich das Minuszeichen?
Das ist die Logarithmische Ableitung. Sei
[mm] f(x):=\ln(g(x))
[/mm]
differenzierbar mit
[mm] $g(x)>0\$ [/mm] für alle [mm] $x\in D_f$,
[/mm]
dann folgt mit Hilfe der Kettenregel für die Ableitung
[mm] f'(x)=\frac{1}{g(x)}*g'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}.
[/mm]
Zur Erinnerung:
[mm] \frac{d}{dx}(\ln(x))=\frac{1}{x}.
[/mm]
Bei dir gilt:
[mm] \frac{d}{dz}(\ln(S-f(z)))=\frac{1}{S-f(z)}*\frac{d}{dz}(S-f(z))=\frac{1}{S-f(z)}*(-f'(z))=-\frac{f'(z)}{S-f(z)},
[/mm]
sodass du eine Stammfunktion angeben kannst.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:21 Mo 21.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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