Logarithmus, ln(n)-n < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Fr 17.04.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Konvergenzverhalten der reellen Folgen:
[mm] f_n [/mm] = [mm] n^3-64n^2
[/mm]
[mm] h_n [/mm] = [mm] \frac{n!}{(2n)!} [/mm]
[mm] g_n [/mm] = ln(n)-n |
Hallo,
[mm] f_n= n^2(n-64)
[/mm]
[mm] f_n [/mm] > [mm] n^2 [/mm] für n >64
Daraus folgt [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} f_n >\lim_{n\rightarrow\infty} n^2= \infty
[/mm]
[mm] f_n [/mm] divergiert gegen unendlich
[mm] h_n [/mm] = [mm] \frac{n!}{(2*4*6*..*2n)*(1*3*5*..*(2n-1))}=\frac{n!}{(2*1*2*2*2*3*..*2*n)(1*3*5..*(2n-1))} [/mm] = [mm] \frac{n!}{2^n *n! *(1*3*5..*(2n-1))} [/mm]
[mm] =\frac{1}{2^n *(1*3*5..*(2n-1))} \le \frac{1}{2^n} [/mm]
0< [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} h_n <\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{2^n} [/mm] =0 [mm] \rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} h_n=0 [/mm]
Passt das so?
Habt ihr Tipps für [mm] g_n [/mm] ? Hilft ln(n)/n [mm] \rightarrow 0(n\rightarrow \infty) [/mm] ?
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Fr 17.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie das Konvergenzverhalten der reellen Folgen:
> [mm]f_n[/mm] = [mm]n^3-64n^2[/mm]
> [mm]h_n[/mm] = [mm]\frac{n!}{(2n)!}[/mm]
> [mm]g_n[/mm] = ln(n)-n
> Hallo,
>
> [mm]f_n= n^2(n-64)[/mm]
> [mm]f_n[/mm] > [mm]n^2[/mm] für n >64
> Daraus folgt [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} f_n >\lim_{n\rightarrow\infty} n^2= \infty[/mm]
So kannst Du das nicht schreiben. Es ist [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} n^2= \infty [/mm] und
[mm] f_n [/mm] > [mm] n^2 [/mm] für n> 64.
Also: [mm] f_n [/mm] divergiert gegen unendlich.
Mich stört in
" [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} f_n >\lim_{n\rightarrow\infty} n^2= \infty[/mm]"
das ">" ! Beide Grenzwerte sind gleich, nämlich $= [mm] \infty$
[/mm]
>
> [mm]f_n[/mm] divergiert gegen unendlich
>
>
> [mm]h_n[/mm] =
> [mm]\frac{n!}{(2*4*6*..*2n)*(1*3*5*..*(2n-1))}=\frac{n!}{(2*1*2*2*2*3*..*2*n)(1*3*5..*(2n-1))}[/mm]
> = [mm]\frac{n!}{2^n *n! *(1*3*5..*(2n-1))}[/mm]
> [mm]=\frac{1}{2^n *(1*3*5..*(2n-1))} \le \frac{1}{2^n}[/mm]
> 0< [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} h_n <\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{2^n}[/mm]
> =0 [mm]\rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} h_n=0[/mm]
Auch hier sind beide"<" falsch ! Denn es ist
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} h_n =0=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{2^n}
[/mm]
Einfacher geht das so:
[mm] h_n=\bruch{1*2*...*n}{1*2*...*n*(n+1)*...*(2n)}=\bruch{1}{(n+1)*...*(2n)}
[/mm]
Für k [mm] \ge [/mm] 1 ist [mm] \bruch{1}{n+k} \le \bruch{1}{n}, [/mm] also folgt:
$0 [mm] \le h_n \le \bruch{1}{n^n}$ [/mm] für alle n.
[mm] (h_n) [/mm] ist also eine Nullfolge.
Bei den obigen Aufgaben hast Du folgenden Fehler gemacht:
sind [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] konvergente Folgen mit den Grenzwerte $a,b [mm] \in \IR \cup \{\infty\}$ [/mm] und gilt
[mm] a_n
so folgt i.a. nicht a<b, sondern "nur" a [mm] \le [/mm] b.
>
> Passt das so?
> Habt ihr Tipps für [mm]g_n[/mm] ? Hilft ln(n)/n [mm]\rightarrow 0(n\rightarrow \infty)[/mm]
Ja, das hilft. Aus [mm] $\bruch{\ln(n)}{n} \to [/mm] 0$ folgt:
[mm] $\bruch{\ln(n)}{n} \le \bruch{1}{2}$ [/mm] für fast alle n.
Damit hast Du:
[mm] $g_n \le -\bruch{n}{2}$ [/mm] für fast alle n.
FRED
> ?
>
> LG,
> sissi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 Fr 17.04.2015 | | Autor: | sissile |
Danke!
Lg,
sissi
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