Logarithmus beschreiben < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Oliilli |
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Hallo!
Ich hoffe mir kann jemand helfen, bin ganz neu in diesem Forum!
Meine Aufgabe:
Es bezeichne Log den Hauptzweig des Logarithmus auf [mm] \IC [/mm] - [mm] \IR_{ \le0}. [/mm] Sei 0< [mm] \alpha< \beta <\pi. [/mm] Ferner seien die Gebiete [mm] G_{ \alpha, \beta}( \infty) [/mm] und [mm] G_{ \alpha, \beta}( [/mm] 0) gegeben durch
[mm] G_{ \alpha, \beta}( \infty)={z \in \IC; 1<|z|, \alpha
[mm] G_{ \alpha, \beta}( [/mm] 0)={z [mm] \in \IC; [/mm] 0<|z|<1, [mm] \alpha
a) Beschreiben Sie Log( G ) für [mm] G=G_{ \alpha, \beta}( \infty) [/mm] und [mm] G=G_{ \alpha, \beta}( [/mm] 0).
b) Beschreiben Sie [mm] \wurzel{G} [/mm] für [mm] G=G_{ \alpha, \beta}( \infty) [/mm] und [mm] G=G_{ \alpha, \beta}( [/mm] 0), wobei
[mm] \wurzel{z}=e^{ \bruch{1}{2}Logz} [/mm] ist.
zu a) Ich hab mal versucht mir wenigstens die Gebiete vorzustellen. Das erste ist doch alles in der oberen Halbebene außer dem Kreis um 0 mit radius 1 (bzw. innerhalb der Winkel [mm] \alpha, \beta) [/mm] und das zweite Gebiet ist eben das Innere des Kreises.
Aber wie ich da einen Logarithmus beschreiben soll, hab ich keine Ahnung...
zu b) Auch keine Ahnung!
Ich weiß irgendwie gar nicht so recht was die von mir wollen, vielleicht kann mir da jemand schon eine Hilfestellung geben!
Danke!
Gruß, Oli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Do 09.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Meine Aufgabe:
> Es bezeichne Log den Hauptzweig des Logarithmus auf [mm]\IC[/mm] -
> [mm]\IR_{ \le0}.[/mm] Sei 0< [mm]\alpha< \beta <\pi.[/mm] Ferner seien die
> Gebiete [mm]G_{ \alpha, \beta}( \infty)[/mm] und [mm]G_{ \alpha, \beta}([/mm]
> 0) gegeben durch
> [mm]G_{ \alpha, \beta}( \infty)={z \in \IC; 1<|z|, \alpha
>
> [mm]G_{ \alpha, \beta}([/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0)={z [mm]\in \IC;[/mm] 0<|z|<1, [mm]\alpha
>
> a) Beschreiben Sie Log( G ) für [mm]G=G_{ \alpha, \beta}( \infty)[/mm]
> und [mm]G=G_{ \alpha, \beta}([/mm] 0).
Ich mache es dir mal für [mm] $G_{\alpha,\beta}(\infty)$ [/mm] vor.
Der reelle Logarithmus bildet [mm] $(1,\infty)$ [/mm] bijektiv auf [mm] $(0,+\infty)$ [/mm] ab. Daher gilt:
[mm] $Log(G_{\alpha,\beta}(\infty))$
[/mm]
[mm] $=\{ \log(re^{i\varphi})\, : \, r >1, \varphi \in (\alpha,\beta)\}$
[/mm]
$= [mm] \{ \log(r) + i\varphi\, : \, r>1,\varphi \in (\alpha,\beta)\}$
[/mm]
$= [mm] \{a+ib\, : \, a>0,b \in (\alpha, \beta)\}$
[/mm]
Die ist ja einfach ein (offener) horizontaler Streifen in der rechten Halbebene...
Den Rest kriegst du jetzt selber hin, denke ich mal... 
Viele Grüße
Julius
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