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Hallo Ihr!
Meine Aufgabe ist:
Man zeige: Eine in einem Gebiet G [mm] \subset \IC [/mm] holomorphe und nullstellenfreie Funktion f besitzt genau dann einen auf G holomorphen Logarithmus, wenn f'/f auf G eine Stammfunktion besitzt.
Kann ich da vielleicht mit dem folgenden Satz etwas anfangen:
Es sei D [mm] \subset \IC [/mm] ein Elementargebiet und f:D [mm] \to\IC [/mm] eine nullstellenfreie holomorphe Funktion. Dann gibt es eine holomorphe Funktion g: D [mm] \to\IC [/mm] mit [mm] f(z)=e^{g(z)} [/mm] für alle z [mm] \inD.
[/mm]
Ein solches g(z) heißt Logarithmus von f(z).
Oder könnt ihr mir vielleicht einen Tipp geben mit was ich da rangehen kann???
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Melli9181!
> Man zeige: Eine in einem Gebiet G [mm]\subset \IC[/mm] holomorphe
> und nullstellenfreie Funktion f besitzt genau dann einen
> auf G holomorphen Logarithmus, wenn f'/f auf G eine
> Stammfunktion besitzt.
>
> Kann ich da vielleicht mit dem folgenden Satz etwas
> anfangen:
> Es sei D [mm]\subset \IC[/mm] ein Elementargebiet und f:D [mm]\to\IC[/mm]
> eine nullstellenfreie holomorphe Funktion. Dann gibt es
> eine holomorphe Funktion g: D [mm]\to\IC[/mm] mit [mm]f(z)=e^{g(z)}[/mm] für
> alle z [mm]\inD.[/mm]
> Ein solches g(z) heißt Logarithmus von f(z).
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
* [mm] $G\subseteq\IC$ [/mm] Gebiet
* $f$ holomorph
* $f$ nullstellenfrei
* $f$ besitzt auf $G$ holomorphen Logarithmus, d.h. es existiert $g: [mm] D\to\IC$, [/mm] g holomorph mit [mm] $f(z)=\exp(g(z))$ $\forall\ z\in [/mm] D$
Beh.: [mm] $\bruch{f'}{f}$ [/mm] besitzt auf $G$ eine Stammfunktion
Bew.: Nur nachrechnen:
[mm] $f'(z)=(\exp(g(z)))'=g'(z)*\exp'(g(z))=g'(z)*\exp(g(z))=g'(z)*f(z)$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $g'(z)=\bruch{f'(z)}{f(z)}$
[/mm]
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
* [mm] $G\subseteq\IC$ [/mm] Gebiet
* $f$ holomorph
* $f$ nullstellenfrei
* [mm] $\bruch{f'}{f}$ [/mm] besitzt auf G eine Stammfunktion
Beh.: $f$ besitzt auf $G$ holomorphen Logarithmus, d.h. es existiert $g: [mm] D\to\IC$, [/mm] g holomorph mit [mm] $f(z)=\exp(g(z))$ $\forall\ z\in [/mm] D$
Bew.:
Hier mußt du im wesentlichen den Beweis des von dir zitierten Satzes abschreiben.
Allerdings mußt du beachten, dass $G$ ja kein Elementargebiet ist, dass also nicht jede auf G holomorphe Funktion eine Stammfunktion besitzt.
Im Beweis des Satzes wird aber gerade nur benutzt, dass [mm] $\bruch{f'}{f}$ [/mm] eine Stammfunktion hat -- das ist nun aber gerade zum Glück jetzt vorausgesetzt.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Melli9181 |
Hallo Marc!!
Vielen, vielen Dank! Du hast mir sehr weitergeholfen...
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