Logarithmus < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:37 Sa 14.09.2013 | | Autor: | mary1004 |
| Aufgabe | 1. a) Bestimme die Gleichung der Tangentenschar der ln-Kurve!
b) Bestimme den Punkt auf Gln, dessen Tangente durch den Ursprung geht!
c) Eine Schartangente schneidet die x-Achse unter 30°. Wo berührt sie Gln, wo schneidet sie die Koordinatenachsen?
d) Welche Schartangente, die steiler ist als die Gerade y= [mm] \bruch{1}{e}x [/mm] begrenzt zusammen mit den Koordinatenachsen ein Dreieck von extremalem Flächeninhalt? Berechne diesen! |
Hallo an Alle! :)
Die Fragen a) bis c) sind schon im Unterricht gelöst worden, nur verstehe die Ergbnisse der a) nicht ganz, und ich bin meiner Ergebnisse zur Frage d) nicht sicher.
a) f(x) = lnx
f'(x) = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
t(x)= mx+t > Soweit ist es verständlich.
Aber dann wird eine Variabel u in der Tangentengleichung eingesetzt, und ich verstehe überhaupt nicht, woher das kommt.
m= f'(u) = 1/u
P in tu: lnu = [mm] \bruch{1}{u}*u [/mm] +tu
=> tu= lnu -1
Was die d) anbelangt habe ich Folgendes gefunden, aber es sieht kommisch aus:
f(x)= lnx
f'(x)= [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{e}x= [/mm] 0
S(0/0)
Da die Tangente steiler sein muss als die Gerade [mm] f(x)=\bruch{1}{e}x [/mm] habe ich:
[mm] \bruch{1}{e} [/mm] < [mm] \bruch{1}{x} [/mm] gesetzt
Dann ergibt sich:
[mm] \bruch{\bruch{1}{1}}{e} [/mm] < x
e < x
t(x)=0
e*0+c=0 => t(x)= ex
A= [mm] \bruch{ex*\bruch{1}{e}x}{2}
[/mm]
u(x)= x u'(x)= 1
v(x)= 2 v'(x)=0
[mm] f'(x)=\bruch{1*2-x*0}{4}= \bruch{1}{2}
[/mm]
Vielen Dank für eure Hilfe, und Verzeihung für die Sprachfehler, aber ich lerne Deutsch als Fremdsprache und mein Matheunterricht wird teilweise auf Deutsch erteilt :)
|
|
| |
|
> 1. a) Bestimme die Gleichung der Tangentenschar der
> ln-Kurve!
> b) Bestimme den Punkt auf Gln, dessen Tangente durch den
> Ursprung geht! ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Was genau ist mit "Gln" gemeint ??
Meine Vermutung: der Graph der ln- Funktion ...
> c) Eine Schartangente schneidet die x-Achse unter 30°. Wo
> berührt sie Gln, wo schneidet sie die Koordinatenachsen?
> d) Welche Schartangente, die steiler ist als die
> Gerade y= [mm]\bruch{e}{x}[/mm]
Diese Gleichung beschreibt doch gar nicht eine Gerade !!
> begrenzt zusammen mit den Koordinatenachsen
> ein Dreieck von extremalem Flächeninhalt? Berechne
> diesen!
> Hallo an Alle! :)
>
> Die Fragen a) bis c) sind schon im Unterricht gelöst
> worden, nur verstehe die Ergbnisse der a) nicht ganz, und
> ich bin meiner Ergebnisse zur Frage d) nicht sicher.
>
> a) f(x) = lnx
> f'(x) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> t(x)= mx+t > Soweit ist es verständlich.
> Aber dann wird eine Variable u in der Tangentengleichung
> eingesetzt, und ich verstehe überhaupt nicht, woher das
> kommt.
Das ist der x-Wert des Punktes P auf dem Graph der
ln-Funktion, in welchem die Tangente gelegt werden
soll. Es wäre ziemlich ungeschickt, diese Stelle einfach
mit x zu bezeichnen, weil wir ja das x noch als Variable für
beliebige Punkte auf der Tangente brauchen.
Anstatt u könnte man z.B. auch [mm] x_P [/mm] schreiben.
> m= f'(u) = 1/u
> P in tu: lnu = [mm]\bruch{1}{u}*u[/mm] +tu
> => tu= lnu -1
Ist dir klar, was genau mit tu gemeint ist ?
Sinnvoll wäre es, zuerst mal einen klaren Ansatz für
die Geradengleichung der Tangente t zu notieren,
zum Beispiel so:
$\ [mm] t:\quad [/mm] y\ =\ [mm] m*(x-x_P)+b$
[/mm]
oder mit dem u notiert:
$\ [mm] t:\quad [/mm] y\ =\ m*(x-u)+b$
und sich dann um die Bestimmung der Werte von m
und b (in Abhängigkeit von u) zu kümmern.
> Was die d) anbelangt habe ich Folgendes gefunden, aber es
> sieht komisch aus:
>
> f(x)= lnx
> f'(x)= [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{e}x=[/mm] 0
> S(0/0)
Was machst du hier ??
Du kannst doch die Vorarbeit aus den vorherigen Teilauf-
gaben benützen.
Wenn die Tanpente t den Graph im Punkt P(u|ln(u))
berührt, ist ihre Steigung [mm] m=\frac{1}{u}
[/mm]
Nun wird verlangt, dass diese Steigung größer als [mm] \frac{1}{e} [/mm] sein
soll, also:
[mm] $\frac{1}{u}\ [/mm] >\ [mm] \frac{1}{e}$
[/mm]
Nun gilt es, diese Ungleichung korrekt nach u aufzulösen.
> Da die Tangente steiler sein muss als die Gerade
> [mm]f(x)=\bruch{1}{e}x[/mm] habe ich:
> [mm]\bruch{1}{e}[/mm] < [mm]\bruch{1}{x}[/mm] gesetzt
> Dann ergibt sich:
> [mm]\bruch{\bruch{1}{1}}{e}[/mm] < x ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> e < x
>
> t(x)=0
> e*0+c=0 => t(x)= ex
Es wäre nun wichtig, dass du dir erstens in einer Zeichnung
klar machst, um welches Dreieck es nun genau geht und
was seine Kathetenlängen sind.
Ferner musst du beachten, dass nun alles von der noch
nicht bestimmten Tangentensteigung m bzw. von der
Stelle [mm] x_P=u [/mm] abhängig ist.
Für den Flächeninhalt ergibt sich also eine Funktion A(u),
auf die man dann Differentialrechnung ansetzen kann
für das zu lösende Extremalproblem.
> A= [mm]\bruch{ex*\bruch{1}{e}x}{2}[/mm]
> u(x)= x u'(x)= 1
> v(x)= 2 v'(x)=0
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1*2-x*0}{4}= \bruch{1}{2}[/mm]
>
> Vielen Dank für eure Hilfe, und Verzeihung für die
> Sprachfehler, aber ich lerne Deutsch als Fremdsprache und
> mein Matheunterricht wird teilweise auf Deutsch erteilt :)
Sprachlich fand ich das, was du geschrieben hast,
eigentlich ganz OK !
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 So 15.09.2013 | | Autor: | mary1004 |
Vielen Dank für Ihre Antwort, aber ich komme immer nicht weiter...
Auch wenn ich [mm] \bruch{1}{u} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e} [/mm] setze ergibt sich immer noch das selbe Ergebnis.
Ich weiß auch nicht wie ich die Steigung der Tangente festlegen soll. Es ist zwar > [mm] \bruch{1}{e}, [/mm] aber welchen Wert genau?
Ich habe versucht die Tangente zu bilden, aber ich bin mir nicht sicher:
lnu= [mm] \bruch{1}{e}*u+t
[/mm]
t= lnu- [mm] \bruch{1}{e}u
[/mm]
[mm] t(x)=\bruch{1}{e}x [/mm] + [mm] lnu-\bruch{1}{e}u
[/mm]
Ich habe die Tangente =0 gesetzt, weil es mit den Koordinatenachsen zusammen mit der Gerade y= bruch{1}{e}x einen Dreieck begrenzt.
[mm] \bruch{1}{e}x+lnu- \bruch{1}{e}u [/mm] =0
[mm] \bruch{1}{e}x=-lnu+\bruch{1}{e}u
[/mm]
[mm] x=\bruch{-lnu}{\bruch{1}{e}}+u
[/mm]
[mm] S(\bruch{-lnu}{\bruch{1}{e}}+u [/mm] | 0)
Dann muss ich die Gerade [mm] {\bruch{1}{e}}x=0 [/mm] setzen, und A= (Nullstelle 1*Nullstelle 2)/2 und ableiten. Ist der Ansatz richtig?
|
|
|
| |
|
> Vielen Dank für Ihre Antwort,
Hallo mary1004,
eigentlich sind wir alle hier im Matheraum per Du ...
Und ich nehme ja auch nicht an, dass 1004 dein
Geburtsjahrgang ist ... 
> aber ich komme immer nicht weiter...
> Auch wenn ich [mm]\bruch{1}{u}\ =\ \bruch{1}{e}[/mm] setze ergibt
> sich immer noch das selbe Ergebnis.
Es ist hier aber wichtig, dass du nicht bloß diese
Gleichung, sondern auch die Ungleichung
[mm]\ \bruch{1}{u}\ >\ \bruch{1}{e}[/mm]
betrachtest und auflöst. Durch Multiplikation mit $\ (u*e)$
ergibt sich (da wir annehmen dürfen, dass sowohl e
als auch u positive Zahlenwerte sind), die neue Ungleichung
[mm]\ e\ >\ u[/mm]
oder u < e .
> Ich weiß auch nicht wie ich die Steigung der Tangente
> festlegen soll. Es ist zwar > [mm]\bruch{1}{e},[/mm] aber welchen
> Wert genau?
Den genauen Wert von u (und also auch von m) können
wir vorläufig überhaupt noch nicht exakt festlegen.
Wir wissen jetzt aber immerhin, dass für den noch
unbekannten Wert von u nur Werte im Intervall (0...e)
in Frage kommen. In der Rechnung bleibt aber zunächst
das u als Parameter, und wir wissen, dass $\ m\ =\ [mm] \frac{1}{u}$ [/mm] .
> Ich habe versucht die Tangente zu bilden, aber ich bin mir
> nicht sicher:
> lnu= [mm]\bruch{1}{e}*u+t[/mm]
> t= lnu- [mm]\bruch{1}{e}u[/mm]
> [mm]t(x)=\bruch{1}{e}x[/mm] + [mm]lnu-\bruch{1}{e}u[/mm]
> Ich habe die Tangente =0 gesetzt, weil es mit den
> Koordinatenachsen zusammen mit der Gerade y= bruch{1}{e}x
> einen Dreieck begrenzt.
>
> [mm]\bruch{1}{e}x+lnu- \bruch{1}{e}u[/mm] =0
> [mm]\bruch{1}{e}x=-lnu+\bruch{1}{e}u[/mm]
> [mm]x=\bruch{-lnu}{\bruch{1}{e}}+u[/mm]
> [mm]S(\bruch{-lnu}{\bruch{1}{e}}+u[/mm] | 0)
>
> Dann muss ich die Gerade [mm]{\bruch{1}{e}}x=0[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
setzen, und A=
> (Nullstelle 1*Nullstelle 2)/2 und ableiten. Ist der Ansatz
> richtig?
Ich sehe, dass du bei diesem Teil der Aufgabe (also beim
Aufstellen der Tangentengleichung) noch eher hilflos bist.
Deshalb will ich dir (entgegen den normalen Gebräuchen
hier im Matheraum) hier einen ausführlichen Lösungsweg
beschreiben.
Die gesuchte Tangente ist eine Gerade, hat also eine Gleichung
der Form
$\ t:\quad y\ =\ m*x+b$
Weil diese Tangente den Graph der Kurve k: y=ln(x) an der
Stelle x=x_P=u berühren soll, ergibt sich nach Differential-
rechnung, dass
$\ m\ =\ \left{(ln(x))'\,}\right|_{x=u}\ =\ \left{\frac{1}{x}}\,\right|_{x=u}\ =\ \frac{1}{u}$
sein muss.
Also können wir die Geradengleichung von t nun
einmal so schreiben:
$\ t:\quad y\ =\ \frac{1}{u}*x+b$
Jetzt müssen wir uns noch um den Wert von b kümmern.
Dazu verwenden wir die Tatsache, dass die Tangente ja durch
den Punkt P gehen soll, dessen x-Koordinate wir "u" getauft
haben und der auf der Logarithmuskurve liegen soll.
Das Zahlenpaar (x|y) mit
$\ x\ =\ x_P\ =\ u$ und $\ y\ =\ y_P\ =\ ln(x_P)\ =\ ln(u)$
muss also die Geradengleichung von t erfüllen.
Dies bedeutet:
$\ y_P\ =\ \frac{1}{u}*x_P+b$
oder mittels u geschrieben:
$\ ln(u)\ =\ \underbrace{\frac{1}{u}*u}_1+b\ =\ 1+b$
Für b erhalten wir also:
$\ b\ =\ ln(u)-1$
Wenn wir dieses Ergebnis in den obigen Gleichungs-Ansatz
einfügen, haben wir die fertige Gleichung der Tangente:
$\ t:\quad y\ =\ \frac{1}{u}*x+ ln(u)-1$
So, nun kann man sich mal eine Zeichnung für ein konkretes
Beispiel machen. Ich würde z.B. einmal mit u=2 arbeiten.
Es wird klar, dass die Tangente t die x-Achse an einer gewissen
Stelle x_0 mit 0<x_0<1 und die y-Achse an einer Stelle y_0
mit y_0<0 schneidet. Das zu betrachtende rechtwinklige
Dreieck liegt also im Koordinatensystem im dritten Quadranten,
rechts unterhalb des Nullpunkts.
Nächste Aufgabe ist nun, die Werte von x_0 und y_0 durch u
auszudrücken und dann den Flächeninhalt des Dreiecks, also
A(Dreieck) ebenfalls als Funktion von u zu schreiben. Auf diese
Funktion wird dann der Apparat der Differentialrechnung
losgelassen, um das gesuchte Extremum (maximaler Flächen-
inhalt) zu bestimmen.
Du siehst also:
Wenn man diese Überlegungen ausführlich ausbreitet, wird
das Ganze relativ lang ... ich hoffe aber, dass es auch
dementsprechend klar verständlich rüber kommt !
Schönen Abend und gute Woche !
Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 So 15.09.2013 | | Autor: | mary1004 |
Danke sehr, soviel Zeit genommen zu haben, um meine Fragen ausführlich zu beantworten! Ich dachte eigentlich, dass ich eine neue Ableitung bilden und nicht diejenige der a) wiederaufnehmen sollte.
|
|
|
| |
|
> Danke sehr, soviel Zeit genommen zu haben, um meine Fragen
> ausführlich zu beantworten!
Das habe ich sehr gerne gemacht. Bei deinen Angaben "Deutsch
als Fremdsprache" und dazu "Mathe zum Teil in Deutsch" habe
ich gedacht, dass man da ganz gut mal ein Auge zudrücken darf.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 So 15.09.2013 | | Autor: | ron |
Hallo,
u übernimmt in der Tangentenschar die Rolle von x! Dies ist häufig sinnvoll, um zu unterscheiden in welcher Funktionsgleichung gerechnet wird. Hier f(x) oder t(u)
WICHTIG: Tangentenpunkte erfüllen beide Gleichungen, d.h. f(u)=t(u) und die Steigung ist identisch, d.h. f'(u)=t'(u)=m
Dadurch ist die Tangentengleichung festgelegt.
Einfach sauber auf einen Zettel aufschreiben, dann ist es leichter.
Gruss
ron
|
|
|
|
