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Logarithmische Konvexität: Idee
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:49 Mi 01.12.2010
Autor: Harris

Aufgabe
Sind g,f logarithmisch konvex, so ist auch g+f logarithmisch konvex.

Hi!

Ich habe leider keine Idee, wie ich das zeigen kann.
Logarithmische Konvexität einer Funktion g bedeutet, dass x -> log g(x) konvex ist.

        
Bezug
Logarithmische Konvexität: Antwort (nicht fertig)
Status: (Antwort) noch nicht fertig Status 
Datum: 21:04 Mi 01.12.2010
Autor: felixf

Moin!

> Sind g,f logarithmisch konvex, so ist auch g+f
> logarithmisch konvex.
>  Hi!
>  
> Ich habe leider keine Idee, wie ich das zeigen kann.
>  Logarithmische Konvexität einer Funktion g bedeutet, dass
> x -> log g(x) konvex ist.

Damit hast du doch schonmal einen guten Anfang.

Du nimmst dir $x, y [mm] \in \IR$ [/mm] und $t [mm] \in [/mm] [0, 1]$, und musst zeigen [mm] $\log(f(t [/mm] x + (1 - t) y) + g(t x + (1 - t) y)) [mm] \le [/mm] t [mm] \log(f(x) [/mm] + g(x)) + (1 - t) [mm] \log(f(y) [/mm] + g(y))$.

Dazu benutze doch erstmal, dass $f$ und $g$ konvex sind, und dann, dass der Logarithmus ebenfalls konvex ist. Dann steht es doch schon da.

Rechne doch mal los!

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Logarithmische Konvexität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 Do 02.12.2010
Autor: Harris

Danke für die Antwort!
Aber...

Impliziert denn logarithmische Konvexität normale Konvexität?

Bezug
                        
Bezug
Logarithmische Konvexität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 Do 02.12.2010
Autor: felixf

Moin!

> Danke für die Antwort!
>  Aber...
>  
> Impliziert denn logarithmische Konvexität normale
> Konvexität?

Fuer "schoene" (sprich: zweimal differenzierbare) Funktionen kann man das schnell nachrechnen: ist $f(x)$ konvex, so auch [mm] $\exp(f(x))$, [/mm] da die zweite Ableitung davon gleich [mm] $\exp(f(x)) f'(x)^2 [/mm] + [mm] \exp(f(x)) [/mm] f''(x) [mm] \ge [/mm] 0$ ist, da $f''(x) [mm] \ge [/mm] 0$ ist.

Wenn man das auf $f(x) = [mm] \log [/mm] g(x)$ anwendet mit $g$ logarithmisch konvex, dann folgt also, dass [mm] $\exp(f(x)) [/mm] = g(x)$ konvex ist.

Fuer allgemeine konvexe Funktionen (nicht notwendigerweise differenzierbar) geht's auch sehr einfach, man benutzt das gleiche Argument zusammen damit, dass $f$ und [mm] $\exp$ [/mm] konvex sind.


Allerdings hat meine Loesung trotzdem ein Problem: die Logarithmusfunktion ist nicht konvex (sondern streng konkav)!

[Deine Aufgabenstellung bedeutet uebrigens: sind $f(x)$ und $g(x)$ konvex, so auch $h(x) = [mm] \log(\exp(f(x)) [/mm] + [mm] \exp(g(x)))$. [/mm] Vielleicht ist es damit etwas einfacher. Du kannst ja erstmal zweimal ableiten um zu schauen, was passiert, wenn $f$ und $g$ zweimal differenzierbar sind.]

LG Felix


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