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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Do 01.03.2007 | | Autor: | maxxen1 |
| Aufgabe | | Ermittle die Stammfunktion F zu [mm] f(x)=\bruch{e^{-x}}{1+e^{-x}} [/mm] |
Wie komme ich auf das Ergebnis: [mm] -ln(1+e^{-x}) [/mm] ?
Wenn ich sie integriere erhalte ich [mm] :ln(1+e^{-x}) [/mm] warum unterscheidet sich meine Lösung vom Ergebnis nur anhand des Vorzeichens?
Und wenn ich es algebraisch umforme [mm] (e^{-x}=\bruch{1}{e^{x}}), [/mm] dann erhalte ich doch:
[mm] \bruch{1}{(1+e^{-x})e^{x}} [/mm] und dies wird zu: [mm] \bruch{1}{e^{x}+1}
[/mm]
irgendwie schaffe ich es nicht den Zähler zur Ableitung des Nenners werden zu lassen
Anfangs habe ich bereit probiert die funktion
Danke für die Aufmerksamkeit
Max
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Do 01.03.2007 | | Autor: | Kyrill |
Hallo,
ich gehe bei deinem Ergbeniss davon aus, dass du es mit Substitution lösen willst. Da hast du richtig erkannt, dass du außerhalt deines Nenners die Ableitung benötigst. Du hast ja:
[mm] \bruch{e^{-x}}{1+e^{-x}}
[/mm]
Die Ableitung deines Nenners ist ja [mm] -e^{-x}. [/mm] Das bedeutet, dass es sich nur um das Minuszeichen von deinem Zähler unterscheidet. Der Trick dabei ist, dass du das "-" doppelt ergänzen darfst, einmal vor das Integral und einmal innerhalb des Integrals
- [mm] \integral_{}^{}{- \bruch{e^{-x}}{1+e^{-x}} dx}
[/mm]
Das darf man machen, da mein das Minus ja wieder aus dem Integral herrausziehen dürfte und minus mal minus ergibt ja plus, also deine ursprüngliche Funktion.
Hoffe, das hat dir ein wenig geholfen
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Hallo maxxen1,
> Ermittle die Stammfunktion F zu
> [mm]f(x)=\bruch{e^{-x}}{1+e^{-x}}[/mm]
> Wie komme ich auf das Ergebnis: [mm]-ln(1+e^{-x})[/mm] ?
Z.B. durch die Substitution [mm]x(z) := -\ln z;x'(z) = -\tfrac{1}{z}[/mm]. Damit integrierst du:
[mm]\int{\frac{z}{1+z}\cdot{\left(-\frac{1}{z}\right)}\operatorname{d}\!z}[/mm]
Mache danach die Rücksubstitution.
Viele Grüße
Karl
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