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Logarithmen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:58 So 15.05.2005
Autor: Schnix

Hallo!

Folgende Aufgabe:
Das Schaubild der Funktion y= [mm] ax^n [/mm] geht durch die Punkte A(1/2) und B(2/0,25). Bestimmte a und n.
Mein Lösungsansatz:
2 = a * [mm] 1^n [/mm]
0,25= a * [mm] 2^n [/mm]

Wenn man jetzt die beiden Glg. teilt, erhält man:

8= [mm]\bruch{1}{2^n} [/mm]

-> [mm] 2^n [/mm] =  [mm]\bruch{1}{8} [/mm]

die Lösung ist klar: -3 , aber wie komm ich mit Hilfe des Logarithmus auf -3??

        
Bezug
Logarithmen: Rechenweg
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 So 15.05.2005
Autor: Loddar

Hallo Schnix!

  
> Das Schaubild der Funktion y= [mm]ax^n[/mm] geht durch die Punkte
> A(1/2) und B(2/0,25). Bestimmte a und n.

> Mein Lösungsansatz:
> 2 = a * [mm]1^n[/mm]
> 0,25= a * [mm]2^n[/mm]
>  
> Wenn man jetzt die beiden Glg. teilt, erhält man:
>  
> 8= [mm]\bruch{1}{2^n}[/mm]
>  
> -> [mm]2^n[/mm] =  [mm]\bruch{1}{8}[/mm]

Aus der 1. Gleichung folgt doch wegen [mm] $1^n [/mm] \ = \ 1$ unmittelbar: $a \ = \ 2$.
Das kann man dann in die 2. Gleichung einsetzen ...


> die Lösung ist klar: -3 , aber wie komm ich mit Hilfe des
> Logarithmus auf -3??

Wir haben also:

[mm] $2^n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{8}$ [/mm]

Nun auf beiden Seiten der Gleichung (einen beliebigen) Logarithmus anwenden. Ich nehme den natürlichen Logarithmus [mm] $\ln$ [/mm] :

[mm] $\ln\left(2^n\right) [/mm] \ = \ [mm] \ln\left(\bruch{1}{8}\right)$ [/mm]

Nun wende ich rechts und links jeweils ein MBLogarithmusgesetz an:

[mm] $\log_b\left(a^m\right) [/mm] \ = \ [mm] m*\log_b(a)$ [/mm]   sowie   [mm] $\log_b\left(\bruch{x}{y}\right) [/mm] \ = \ [mm] \log_b(x) [/mm] - [mm] \log_b(y)$ [/mm]


[mm] $n*\ln(2) [/mm] \ = \ [mm] \ln(1) [/mm] - [mm] \ln(8) [/mm] \ = \ 0 - [mm] \ln(8) [/mm] \ = \ - [mm] \ln(8)$ [/mm]   $| \ : [mm] \ln(2) [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$

[mm] $n*\ln(2) [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{\ln(8)}{\ln(2)} [/mm] \ = \ -3$


Und, [lichtaufgegangen] ??

Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Logarithmen: Vielen Dank!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:15 So 15.05.2005
Autor: Schnix

Vielen Dank Loddar! Du hast mein Wissen über Logarithmen wieder aufgefrischt! Danke!
Bezug
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