Logarithhmusgleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Di 11.05.2004 | | Autor: | Kiwi27 |
Hallo!
Kann mir jemand helfen? ich komme damit nicht weiter.
Besten Dank im Voraus!
Gruß, Amel
[mm] 2lgx=lg(9x-20) /:2lg[/mm]
[mm] x= lg(9x-20) / 2lg[/mm]?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:09 Mi 12.05.2004 | | Autor: | Kiwi27 |
> Hallo Kiwi27
>
> Willkommen im Matheraum! 
>
>
>
> > Hallo!
> > Kann mir jemand helfen? ich komme damit nicht weiter.
> > Besten Dank im Voraus!
> > Gruß, Amel
> >
> > [mm]2lgx=lg(9x-20) /:2lg[/mm]
> > [mm]x= lg(9x-20) / 2lg[/mm]?
> >
> >
>
> Du meinst sicher das hier:
>
> [mm]2 \log(x) =\log(9x-20)[/mm]
>
> oder?
>
> Nun, da kann man natürlich nicht eingach durch [mm]\log[/mm]
> dividieren, weil ja [mm]\log[/mm] nicht ein Faktor ist, den man
> einfach wegkürzen kann, sondern eine Funktion.
>
> Um Funktionen wegzubringen, kann man einfach die
> Umkehrfunktion darauf anwenden (sofern diese existiert).
>
> Daher erstmal die Frage an dich: Kennst du die
> Umkehrfunktion des Logarithmus?
>
> ... und noch eine Zusatzfrage: Ist dir diese Gleichung ein
> Begriff:
>
> [mm]2 \log(x) = \log(x^2)[/mm] ?
>
> Bitte versuch doch zunächst mal, diese zwei Fragen zu
> beantworten!
>
> Sollte dir das nicht gelingen, dann meldest du dich aber
> auch! 
>
> Mit lieben Grüssen
>
>
Hallo Paulus,
Also die Umkehrfunktion des Logarithmus ist die Exponentialfuktion.
die Gleichung ist mir irgendwie schon ein Begriff, aber ich habe damit schwierigkeiten sie zu verstehen bzw. anzuwenden.
[mm]2 \log(x) =\log(9x-20)[/mm] d.h. ich muss erst die rechte Seite ausklammern?
[mm]2 \log(x) =\log9x-log20)[/mm] stimmt das?
Gruß, Amel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Mi 12.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Kiwi27
ich habe gerade mal dein Profil angeschaut. Ich muss schon sagen, du verdienst den allergrössten Respekt, dass du das Abi machst! Ich bewundere dich!
Wie läuft das denn so ab? Bekommt ihr gewisse Unterlagen, die ihr bis dann und dann durchzuarbeiten habt, mit den entsprechenden Aufgaben, die ihr dazu lösen sollt?
Oder läuft da schon viel übers Internet?
...und noch was: da bist du ja im Matheraum gerade richtig!! Denn hier kannst du im Dialog, also mittels Frage-Antwort-Spiel, der Lösung der Aufgaben schrittweise näherkommen. Und Fragen werden immer recht zügig beantwortet. Wenn man sieht, dass du online bist und aktiv mitmachst, dann hast du jeweils für einen ganzen Abend einen Betreuer, der dir hilft, die korrekte Lösung und auch die richtigen Ueberlegungen zu finden.
Jetzt aber zur Sache!
Ich will ja Marcel mit seiner kompetenten Antwort und der guten mathematischen Führung in Richtung Ziel nicht widersprechen, sondern nur mal in einer etwas anderen Richtung noch ein Wenig quatschen!
> Also die Umkehrfunktion des Logarithmus ist die
> Exponentialfuktion.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, das ist sehr gut!
> die Gleichung ist mir irgendwie schon ein Begriff, aber
> ich habe damit schwierigkeiten sie zu verstehen bzw.
> anzuwenden.
>
Ja, und hier will ich noch ein Wenig einhaken ....
>
> [mm]2 \log(x) =\log(9x-20)[/mm] d.h. ich muss erst die rechte Seite
> ausklammern?
> [mm]2 \log(x) =\log9x-log20)[/mm] stimmt das?
>
...respektive hier!
Ich glaube, du musst den Funktionsbegriff in deinen Unterlagen unbedingt nochmals repetieren. Von mir nur ein paar dürftige, aber hoffentlich doch hilfreiche Bemerkungen dazu:
Eine Funktion ist eine Vorschrift oder ein Rezept, wie man aus einer (manchmal auch mehreren, ich erwähne das nur für Marcel, der immer vollständig sein will ) gegebenen Grösse eine neue Grösse berechnet.
Für uns jetzt aber vorläufig, aus didaktischen Gründen, nur mal die vereinfachte Version:
Eine Funktion ist eine Vorschrift oder ein Rezept, wie man aus einer gegebenen Grösse eine neue Grösse berechnet.
Mit etwas zeitgemässeneren Wörtern könnte man sich unter der Funktion auch ein Computerprogramm vorstellen: man gibt einen Wert ein, und heraus kommt das Resultat!
Ich bleibe mal beim Bild des Programmes. Das Programm erhält in der Regel einen Namen, der aussagt, was für Resultate zu erwarten sind.
Als Beispiel: Mein Programm heisse: "quadriere".
Das würde man so darstellen : [mm]y = quadriere(x)[/mm]
Die Meinung dabei ist die: [mm]y[/mm] ist der Output des Programms [mm]quadriere[/mm], wenn als Input der Wert [mm]x[/mm] vorliegt.
Ueblichere Beispiele wären etwa: [mm]y = \sin(x)[/mm] oder [mm]y = \ln(x)[/mm]
Wenn man dem Resultat keinen Namen geben will, schreibt man einfach: [mm]f(x) = \sin(x)[/mm] oder [mm]f(x) = \ln(x)[/mm]
oder für unser obiges Beispiel: [mm]f(x) = x^2[/mm]
Wenn die Funktionen (Programme) nicht allzu wild sind, dann kann man den Input auch etwas "komplizierter" schreiben, und man erhält dann auch ein etwas "komplizierteres" Resultat.
Als Beispiel: die Funktion ist [mm]f(x) = x^2[/mm]
jetzt kann ich zum Beispiel untersuchen, was denn mein Programm liefert, wenn als Input nicht einfach das [mm]x[/mm] vorliegt, sondern [mm]x+1[/mm]
Was ist also [mm]f(x+1)[/mm]
Da wir wissen, wie das Programm im Inneren arbeitet (es quadriert den Input), können wir natürlich voraussagen, was das Programm liefern wird:
[mm]f(x+1) = x^2 + 2x + 1[/mm]
Und an diesem Beispiel erkennst du auch deinen Fehler wieder:
Es gilt nicht [mm]f(x+1) = f(x) + f(1)[/mm] Siehst du das?
Bei [mm]f(x+1)[/mm] ist also das [mm]f[/mm] nicht ein Faktor, der in die Klammer hineinmultipliziert wird. Es fehlt kein Multiplikationspunkt zwischen [mm]f[/mm] und [mm](x+1)[/mm], wie das bei [mm]x(x+1)[/mm]der Fall ist. Im 2. Fall fehlt der Punkt nur aus Bequemlichkeit der Mathematiker, im 1. Fall aber gehört wirklich kein Punkt hin!!
Man hätte übrigens auch schreiben können:
[mm]f(x+1) = f(x) + 2x + 1[/mm]
Etwas Aehnliches siehst du auch beim Sinus (wenn ihr das schon gehabt habt, sonst kannst du das jetzt einfach mal übergehen):
[mm]\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) * \cos(\beta) +\sin(\beta) * \cos(\alpha)[/mm]
... und jetzt wieder zum Bezug auf deine Aufgabe, einfach als weitere Beispiele, ohne Herleitung (das macht dann Marcel )
[mm]\ln(x*y) = \ln(x) + \ln(y)[/mm]
[mm]\ln(x^2) = 2*\ln(x)[/mm]
Und what about die Umkehrfunktion?
Bei der Umkehrfunktion stellst du dir einfach vor, das Programm laufe rückwärts.
Du stopfst den Output des Programmes hinten wieder hinein und lässt das Programm rückwärts laufen. Geliefert werden soll dann das, was man beim "Vorwärtslaufen" hätte eingeben müssen, um das Resultat zu erhalten. (Das geht natürlich nicht bei allen Programmen (Funktionen), wie du anhand des Beispiels [mm]f(x) = x^2[/mm] erkennen kannst. Wenn man zum Beispiel mit der Eingabe [mm]4[/mm] den zugrundeliegenden Input herausfinden wollte, kann man ja nicht entscheiden, ob als Input für [mm]f(x)[/mm] [mm]-2[/mm] oder [mm]+2[/mm] gegeben war!)
Beim Logarithmus geht das aber, und das rückwärts laufende Programm heisst dort Exponentioalfunktion.
Also: wenn [mm]\ln(2)[/mm] als Resultat [mm]0,693147..[/mm] ausspuckt, so liefert das Programm [mm]\exp(0,693147..)[/mm] als Resultat wieder die [mm]2[/mm].
Oder kürzer formuliert: [mm]\exp(\ln(x)) = x[/mm]
Oder, nur so als Beispiel : [mm]\exp(\ln(x^2)) = x^2[/mm]
So, genug der Faselei!
Liebe Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Mi 12.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Paul,
> Eine Funktion ist eine Vorschrift oder ein Rezept, wie man aus einer
> (manchmal auch mehreren, ich erwähne das nur für Marcel, der immer
> vollständig sein will )...
(auch, wenn ich es noch präziser formulieren könnte, aber ich will ja nun niemanden verwirren und deine Definition reicht hier vollkommen aus und ist auch das, was man behalten sollte )
> ... und jetzt wieder zum Bezug auf deine Aufgabe, einfach als
> weitere Beispiele, ohne Herleitung (das macht dann Marcel )
$ln(x*y)=ln(x)+ln(y)$
[mm] $ln(x^2)=2*ln(x)$
[/mm]
Okay, ich mache mal eine schnelle Herleitung/einen schnellen Beweis à l'école:
1.) $ln(x*y)=ln(x)+ln(y)$
Sinnvollerweise benötigt man (hier) dazu die Voraussetzung:
$x,y > 0$.
Es gilt:
1.) $exp(ln(xy))=xy$ (Stichwort: Umkehrfunktionen) und
2.) $exp(ln(x)+ln(y))=exp(ln(x))*exp(ln(y))=xy$
(Dies setze ich als bekannt voraus! Ansonsten: ![[]](/images/popup.gif) Skript Satz 7.2 bzw. Beweis dazu. Ist aber Universitätsniveau . In der Schule wurde uns immer gesagt: "Glaubt einfach dran!" .)
Da die Exponentialfunktion injektiv ist, folgt aus 1.) und 2.):
$ln(xy)=ln(x)+ln(y)$.
Zum Beweis der zweiten Aussage:
[mm] $ln(x^2)=2*ln(x)$
[/mm]
Auch dies ist (hier) nur sinnvoll, falls $x>0$ vorausgesetzt wird. Dann gilt aber:
[mm] $ln(x^2)=ln(x*x)=ln(x)+ln(x)=2*ln(x)$ [/mm] wegen dem eben bewiesenen.
Und Paul:
Du hast es ja so gewollt
Viele Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Mi 12.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Marcel
ja, ja, super! Das ist wirklich gut und auch promt. Ich wollte nur an unsere frühere Diskussion über "stufengerechtes Erklären" erinnern: für den Anfang nicht zu genau, aber trotzdem nicht falsch! Den Ideen von Kiwi nach zu schliessen, glaube ich eben schon, dass es ganz sinnvoll sei, nur mal die Grundlagen etwas zu klären, und nicht allzusehr ins Detail zu gehen. Sonst sieht sie dann vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr!
Einverstanden, Kiwi?
Mit lieben Grüssen (an beide)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Mi 12.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Paul,
> Hallo Marcel
> du meinst also: dein Beweis sei für meine Stufe richtig Na
> dankeschön, dann werde ich in Zukunft wohl keine Fragen mehr
> beantworten, sondern nur noch Fragen stellen!
So meinte ich das doch gar nicht. Ich wollte wissen, ob du meine Antwort an Kiwi... nicht stufengerecht findest (meine erste Antwort in diesem Thread, nicht die Mitteilungen an dich ).
Wie kommst du auf die Idee, dass dieser Beweis "für dich stufengerecht" sei? Hast du das irgendwo zwischen den Zeilen gelesen? War auf jeden Fall nicht beabsichtigt.
Ach, ich glaube, ich weiß, warum. Weil ich geschrieben hab, dass die Mitteilung für dich gedacht sei. Ja, aber nur als Reaktion meinerseits auf deine Anspielungen (Die Notwendigkeit war mir egal, ich sagte doch, ich konnte da einfach nicht widerstehen Du hast es ja so gewollt ).
Also: Bitte weiter Fragen beantworten
PS: Ich habe dich auch als "allergrößten Clown" gevotet, allerdings wußte ich das auch erst hinterher
Ob wir Kiwi mal einen Hinweis schreiben sollen, dass sie das hier nicht zu lesen braucht?
Viele Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 Mi 12.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Marcel
>
> So meinte ich das doch gar nicht. Ich wollte wissen, ob du
> meine Antwort an Kiwi... nicht stufengerecht findest (meine
> erste Antwort in diesem Thread, nicht die Mitteilungen an
> dich ).
Doch, die ist super! Ich wollte nur parallel dazu noch ein paar weitere Gedanken beimischen, damit Kiwis Verständnis des Funktionsbegriffes noch etwas gefördert werden kann.
> Wie kommst du auf die Idee, dass dieser Beweis "für dich
> stufengerecht" sei? Hast du das irgendwo zwischen den
> Zeilen gelesen? War auf jeden Fall nicht beabsichtigt.
> Ach, ich glaube, ich weiß, warum. Weil ich geschrieben
> hab, dass die Mitteilung für dich gedacht sei. Ja, aber nur
Ja, genau darum!
> als Reaktion meinerseits auf deine Anspielungen (Die
> Notwendigkeit war mir egal, ich sagte doch, ich konnte da
> einfach nicht widerstehen Du hast es ja so gewollt
> ).
>
> Also: Bitte weiter Fragen beantworten
>
Mach ich ja gerne. Vielleicht sieht mans an meinen Antworten sogar an...
Hast du das übrigens auch gelesen? Ist wirklich hübsch, nicht wahr?
https://matheraum.de/read?f=1&t=793&i=809
Ich bin nur etwas enttäuscht über das geringe Interesse. Ich habe erwartet, dass sich da ganze Heerscharen darauf stürzen würden!
> PS: Ich habe dich auch als "allergrößten Clown" gevotet,
> allerdings wußte ich das auch erst hinterher
>
Ja, ja. Dieses Image habe ich schon! Na ja, daran hab ich wohl selbst Schuld!?
> Ob wir Kiwi mal einen Hinweis schreiben sollen, dass sie
> das hier nicht zu lesen braucht?
>
Hab ich auch schon gedacht, aber schaden tuts ja nicht, wenn sie das liest. Hoffentlich leidet das Forum-Image darunter nicht allzu sehr!
Liebe Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 Mi 12.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Paul,
> ...Mach ich ja gerne. Vielleicht sieht mans an meinen Antworten sogar
> an...
Auf jeden Fall (das meine ich natürlich im positiven Sinne, nur, um jegliche Missverständnisse zu vermeiden )
> Hast du das übrigens auch gelesen? Ist wirklich hübsch, nicht wahr?
> https://matheraum.de/read?f=1&t=793&i=809
Ja, ich bin anfangs mal drüber gestolpert, es ist auch interessant und ich werde es mir demnächst auch noch etwas genauer angucken (wenn ich es wiederfinde). Hatte aber bisher leider andere Dinge zu tun (und habe immer noch welche zu tun), die vorrangig sind (und ich bin mal wieder länger im Internet, als ich eigentlich geplant hatte...).
> Ich bin nur etwas enttäuscht über das geringe Interesse. Ich habe
> erwartet, dass sich da ganze Heerscharen darauf stürzen würden!
Dachte ich eigentlich auch...
> > PS: Ich habe dich auch als "allergrößten Clown" gevotet,
> > allerdings wußte ich das auch erst hinterher
>
> Ja, ja. Dieses Image habe ich schon! Na ja, daran hab ich wohl selbst
> Schuld!?
Wieso? Ich finde es gut, dass du teilweise lustige Kommentare gibst, deine Antworten aber dennoch von hoher Qualität sind. So ist das alles nicht so trocken, wie es bei mir (vielleicht) manchmal rüberkommt...
> > Ob wir Kiwi mal einen Hinweis schreiben sollen, dass sie
> > das hier nicht zu lesen braucht?
>
> Hab ich auch schon gedacht, aber schaden tuts ja nicht, wenn sie das
> liest. Hoffentlich leidet das Forum-Image darunter nicht allzu sehr!
Ich denke eigentlich nicht, dass das dem Image des Forums schadet. Ich bin aber auch gerne bereit, unser kleines Privatgespräch zu löschen, falls jemand anderer Ansicht ist
Aber ich denke, wir sollten das Gespräch von nun an auf die PN's verlagern. Aber für heute gehe ich erstmal offline, damit ich wenigstens noch ein bisschen was geschafft kriege...
Viele Grüße
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Do 20.05.2004 | | Autor: | Kiwi27 |
Hallo !
Kannst du mir ein gutes Mathe Buch zum Thema Logarthmus- und Expnentialfunktion empfehlen? evtl. mit Autor? Verlag? ISBN-Nr.?
Besten Dank im Voraus!
Gruß, Amel (Kiwi27)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Do 20.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Amel
dass du dich wieder meldest??
Waren denn meine Ausführungen wirklich so unverständlich?
Oder ist die Philosophie dieses Forums, dass die Fragesteller selber auch etwas beitragen sollten, wirklich so hinderlich, dass du einfach mehrere Tage Funkstille einlegst?
Ich habe jedenfalls den Eindruck, dass du neben dem Nachholen des Abis auch noch ein zünftiges Aufpolieren einer guten Kinderstube dringend nötig hättest!
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