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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 So 13.02.2005 | | Autor: | CPH |
Hallo!
Ich beschäftige mich momentan mit der Integration von sin, cos, tan, cotan, etc.
ich bin auf das Problem gestoßen, dass ich
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{dx}{sin^2(x)}}=[-cotangens [/mm] (x)+C]
daher:[-cotangens [mm] (x)+c]'=[\bruch{cos (x)}{sin (x)}
[/mm]
Die Formel zum Bruch-Differenzieren Lautet:
[mm] (u'*v-v'*u)/(v^2)
[/mm]
Daraus folgt: V=sin(x), U=cos(x), V'=cos(x) und U'=-sin(x)
Das ergebnis wäre dann [mm] -1-\bruch{cos^2(x)}{sin^2(x)}
[/mm]
zwar unter Benutzung des Hauptsatzes der Analysis (Differential- und Integralrechnung) lösen kann (also das Ergebnis ist bekannt:
-cotangens (x)+C
), jedoch suche ich einen weiteren weg, um diese Funktion auch ohne den Hauptsatz zu lösen.
Mein bisher gewälter Ansatz lautet:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{dx}{sin (x)*sin (x)}}
[/mm]
ich hoffe, "dass mir noch zu helfen ist" und bedanke mich bereits im vorraus.
Des weiteren, der Form wegen:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:59 Mo 14.02.2005 | | Autor: | maria |
Hallo Christoph. Ich versuche dir mal weiterzuhelfen. Ich hoffe es ist noch nicht zu spät. Also folgendes soll integriert werden:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{dx}{sin^2(x)}} [/mm] Das ist verkettet. Ich integriere also zuerst die äußere Funktion. Ich setze mal sinx=x, also muss ich nur [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] integrieren, das wäre dann - [mm] \bruch{1}{x} [/mm] (siehe Tafelwerk). jetzt setze ich für x wieder sinx ein, also - [mm] \bruch{1}{sinx}. [/mm] so, das ganze muss ich jetzt noch mit dem Reziproke der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren (so lautet jedenfalls die Kettenregel). Die innere Funktion ist sinx, abgeleitet wäre das cosx, das Reziproke davon ist also [mm] \bruch{1}{cosx}. [/mm] Das ganze miteinander multipliziert ergibt - [mm] \bruch{1}{cosx*sinx} [/mm] So weil mir jetzt erstmal nichts weiter einfällt wie ich das weiter umformen kann, versuch ichs erstmal umgekehrt. cotx= [mm] \bruch{1}{tanx} [/mm] Das ist klar. Die Ableitung von -cotx+C wäre dann [mm] \bruch{1}{tanx^{2}}* \bruch{1}{cosx^{2}} [/mm] (Kettenregel anwenden: Ableitung äußere Fkt.*Ableitung innere Fkt., Ableitung von tanx ist übrigens [mm] \bruch{1}{cosx^{2}} [/mm] siehe Tafelwerk). Das ganze forme ich jetzt um, also [mm] \bruch{cosx^{2}}{sinx^{2}}* \bruch{1}{cosx^{2}} [/mm] (weil [mm] tanx=\bruch{sinx}{cosx}) [/mm] , kürzen und dann komm ich auf [mm] \bruch{1}{sinx^{2}}, [/mm] fertisch. OK, sorum wars irgendwie leichter. Ich hab das aber oben trotzdem mal stehen lassen. vielleicht weiß noch jemand andres wies weitergeht.vielleicht hat sich da auch n kleiner Fehler eingeschlichen??? Wie du auf [mm] -1-\bruch{cos^2(x)}{sin^2(x)} [/mm] gekommen bist weiß ich nicht. Du kennst zwar die Ableitungsregeln, hast sie zwar richtig aufgeschrieben aber nicht richtig angewendet. Das musst du noch sehr üben. Hunderte von Funktionen muss man integrieren und ableiten bis man das richtig kann.
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